提高学生独立思考能力探索

黄河清

[摘 要]让学生掌握数学的学习方法，提高学生的数学学习能力，是中学数学教学的重要任务.研究提高学生独立思考的能力策略具有重要的现实意义.通过训练学生“下结论”“复述”“变式”“提问”“感悟”，可有效提高学生独立思考的能力.

[关键词]独立思考能力；高中数学；策略

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0001-04

数学是思维的体操.著名数学家波利亚在谈到数学课的目的时，最为强调的就是两点：一是教会学生思考；二是培养学生的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感等非智力因素.这里的“思考”包括两个方面：一是指“有目的的思考”；二是既包括“形式的”思维，又包括“非形式的”思维.即“教学生证明问题，也教他们猜想问题”.

事实上，数学学习的核心价值，就在于高水平的思维训练.具体来说，就是学会“想”问题.但是，“想”什么？怎样“想”？ 这需要通过一定的手段去加以训练.

一、训练“下结论”

“下结论”是有目的思考的结果.对课堂上出现的每一个问题（无论是教师提出的还是学生提问的），都要求学生力争迅速形成“自己”的想法.

学生可以通过观察、猜想或直觉思维，迅速给出自己的结论.结论正确与否并不是最重要的，关键它是学生“自己”的想法.这样的锻炼非常重要，是提高独立思考能力必须经过的一道“坎”.在解题中，“看条件下结论”是学生进行推理、判断的基础.

[例1]观察右图，你能从中发现哪些结论？你能否发现以下众多的结论？

（1）函数定义域为R；

（2）函数值域为R；

（3）函數图像过原点；

（4）对应方程有三个根.一零根，一正根，一负根；

（5）正根绝对值比负根绝对值大；

（6）函数值有正、有负（存在很多不等式）；

（7）函数有极大值、极小值；

（8）函数无最大值、最小值；

（9）函数在区间上具有单调性；

（10）函数具有凹凸性.

……

教师坚持不懈地进行“下结论”的训练，学生就会逐步开阔眼界，能看到原来看不到的东西，想到原来想不到的东西，从而逐步提升分析问题和解决问题的能力.

二、训练“复述”

“复述”本质上是一种转化.对于课堂上学习的知识，学生要能用自己的语言表达出来，这是非常重要的.每个人都有自己的思维“图式”，学习的意义在于不断丰富和完善自身的思维结构.特别是数学的语言比较抽象，学生要把符号语言、图形语言很好地“翻译”为文字语言，能“讲”得出来，并不是一件容易做到的事，只有通过长期坚持训练才能做好.

很多学生对知识常常 “只能意会不能言传”.这是很多学生解题表达时常思维不清的重要原因——“讲”不清楚.因此，对于课堂上教学的知识，教师要注重训练学生用自己的语言表达出来.“复述”是提升学生独立思考能力的重要手段.

[例2] 请用“自己”的语言复述“曲线的方程”与“方程的曲线”概念.

定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x， y）=0的实数解建立了如下关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线.

复述：

（1）这两个条件反映的是“曲线上的点” 和“以方程的解为坐标的点”的关系.既“不多” 又“不少”， 刚合适！

条件1：说明“曲线上的点”不多于“以方程的解为坐标的点”， 即说明曲线上的点都适合条件，“无一例外”.

条件2：说明“曲线上的点”不少于“以方程的解为坐标的点”， 即说明适合条件的所有点都在曲线上，“毫无遗漏”.

（2）定义的集合表述. 曲线可以看成点的集合，记为C；一个二元方程的实数解可以看成点的坐标，其解集也描述了一个点集，记为F.

[条件1：C?F条件2：F?C?C=F， 即C={（x， y）|F（x， y）=0}].

可见，加强“复述”训练，学生能用自己特有的思维方式去理解和记忆知识，所学知识就会内化为他们自身的学习系统，就会成为富有价值的知识.

三、训练“变式”

变式，是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式.它是解题思维展开的一种重要途径.

训练变式，就是要学生注重观察有关概念、性质、公式、题型等是如何从简单演变派生到复杂的，从中理解变式的基本思想，学会归纳解决问题的方法、策略、技巧，熟练地掌握变式的思维方法，它对提高学生的辩证思维能力，促进学生不断地向思维的自觉领悟阶段转变，具有不可替代的作用.

变式，常常通过以下方式进行.

（1）语言变式

数学语言通常有以下形式：文字语言、图形语言、符号语言.从某种意义上来说，数学解题就是不断实施语言的转化，从中发现解题思路，进而求解的过程.锻炼学生的数学语言转换能力是十分重要的.

（2）图形变式

教师要注重训练学生将图形由标准位置改变为非标准位置，由基本图形改变为非基本图形，这种训练能加强学生对概念的本质特征的理解.教师还要注重以基本图形为“生长点”，将其引申变换为组合图形而得到变式题组，以此培养学生的想象能力、变换能力及创新意识.

（3） 概念变式

它包括反映该概念本质属性的各种变化形式，如符号表示、等价说法、图形变式及反面实例等.

（4） 定理变式

数学定理揭示了几个概念之间的某种本质联系，是经过严格论证的数学命题.掌握定理就意味着要明确定理的结构特征（条件和结论），弄清定理的来龙去脉、推理方法和适用范围.改变条件或改变结论，会产生怎样的命题？该命题正确吗？定理的逆命题是否成立？定理的等价命题有哪些？这些都是定理变式.

（5） 公式变式

与定理变式相类似，公式变式更注重符号表示和式子结构.改变公式的式子结构，可得到各种变式.

如，由公式 [tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanα?tanβ] ，可得

[tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanα?tanβ）].它的一大特征是出现“两项的和与积”， 其直接的应用如例3.

[例3]求[tan17°+tan43°+3tan17°?tan43°]的值.

解：[tan17°+tan43°+3tan17°?tan43°]

[=tan（17°+43°）（1-tan17°?tan43°）+3tan17°?tan43°]

[=tan60°（1-tan17°?tan43°）+3tan17°?tan43°]

[=3（1-tan17°?tan43°）+3tan17°?tan43°]

[=3]

（6） 题目变式

题目变式即一题多变.其实质是问题结构的变式.从一道例（习）题出发，运用逆向或横向思维，通过改变题目的条件，变数字、变字母、变符号等手段，使原题变成一组变式题.通过研究这组变式题，形成完整的知识结构.

[例4]已知数列[{an} ， 其中a1=1 ， an+1=an+1 （n∈N*） ]，①求它的通项公式.

若着眼于此题的条件变更及结论变更，可提出如下问题.

变式1： 把①式中的“1”改为n，即[an+1=an+n .]②

求它的通项公式.

解：[∵an+1-an=n ， a2-a1=1， a3-a2=2 ，…，an-][an-1=n+1 .]

将以上n-1个式子相加，得an-a1=1+2+…+（n-1）[=n（n-1）2 ，][∴an=n（n-1）2+1 .]

变式2： 把①式中的“1”改为2 n-1，即[an+1=an+2n-1]，③求它的通项公式.

同变式1的解法得出答案：[an=2n-1 .]

小结：形如[an+1=an+f（n）]的递推关系式，常用叠加的思想方法，化归为等差或等比数列求和.

变式3：把①式中an前面的系数变化，如改成2，即

[an+1=2an+1]，④求它的通项公式.

解： [∵an+1=2an+1 ，][∴an+1+1=2（an+1） ，（?）]

[∴an+1+1an+1=2 .]

[∴{an+1} ]是以首项为a1+1=2，公比为2的等比数列.

[∴an+1=2?2n-1=2n ，∴an=2n-1 .]

注：（[?]）式中的“1”是凑配而来的，也可用待定系数法确定.

小结：形如[an+1=can+d （c≠0， c≠1， d≠0） ]的递推关系式，采用凑配方法或待定系数法.设[an+1+l=c（an+l） ，则 an+1=can+cl-l，]与原递推式比较得[（c-1） l=d ， l=dc-1]，再用构造法，将其化归为等比数列问题.

变式4：将④式中的常数换成一个幂，比如[an+1=2an-3n ，] ⑤求它的通项公式.

解法1：仿照变式3中解法，将递推式变形为[an+1+3n+1=2（an+3n）]，则凑配成一个{an+3n}的等比数列，由此得到[an=2n+1-3n .]

解法2：把递推式⑤两边同除以[3n+1]，得[an+13n+1=23·an3n-13 ，]再把[an3n]看成一个整体，令[cn=an3n ， 则 cn+1=23cn-13 .] 这就回到类似于④式的递推形式，可用待定系数法配凑成等比数列解之，这是求解这类问题的通法.

小结：形如[an+1=can+dn （c≠0， c≠1， d≠0） ]的递推关系式，可采用类似于处理⑤式的凑配方法，用构造法化归为等比数列问题.

变式5：将①式中[an+1 、 an 换成倒数 ， 即 1an+1=1an+1 ，]将此式化简，得[an=an+1+anan+1 ]，即 [an+1=an1+an .] ⑥

递推式⑥可凑配成倒数的递推关系式，转化成等差数列解之.

变式6： 将⑥式改为 [an+1=3an1+an .] ⑦

⑦式可化为[an+1+anan+1=3an ，]两边同除以[an+1an ，]得[1an+1=3an+1 ，]即 [1an+1=13·1an+13 .]

令[bn=1an ， 则 bn+1=13bn+13]，回到类似于④式的递推形式，再凑配成等比数列求解.

小结：形如[an+1=manb+can ]（其中m、b、c均为非零常数）的递推关系，采用凑配成倒数的思想方法，化归为等差、等比数列问题.

我们知道数列{an}，如果满足关系式 [an+1=qan（q≠0） ，]⑧则数列为等比数列.

变式7：将⑧式中的q改为[nn+1]，即 [an+1=nn+1an ，] ⑨ 求[an].

解法1：[∵an+1an=nn+1 ，][∴ a2a1=12 ， a3a2=23 ， a4a3=34 ， … ， anan-1=n-1n ，]