提升备课质量 促进有效教学

盛国平

[摘 要]备课是数学教学的重要环节，提高备课的有效性和针对性对培养三星级高中学生的数学核心素养，提升其数学学习质量具有重要作用.教师在数学备课时要做到“六注重”，即注重备课前的积累、注重对教材内容的整体把握、注重对教材例题的整合、注重对教材习题的开发、注重对数学基本思想方法的提炼、注重对知识育人功能的挖掘，以提高备课质量，促进有效教学.

[关键词]备课；有效教学；三星级高中

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0004-03

由于受认知水平、学习基础、学习习惯等因素的影响，三星级高中的学生在学习数学时常感到困难，容易产生消极、抵触情绪，从而导致成绩不理想.在此背景下，教师应加强针对三星级高中学生的数学教学有效策略研究.备课是数学教学的重要环节，提高备课的有效性和针对性对培养三星级高中学生的数学核心素养，提升其数学学习质量具有重要作用.本文结合笔者自身的教学实践谈谈对三星级高中数学备课的几点思考.

一、注重备课前的积累

备课前，教师应研究课程标准，研读教材，领会教材的编写意图，对教材内容进行融会贯通；充分了解学情，一切以学生已有的认知水平为出发点，制订相应的教学目标和教学方案；参考多方面的教学资料（包括教辅资料、模拟题及高考题等），尽可能地将所有习题都“试水”一遍，对例题、习题的难易度及教学功能进行判断和识别，从而为精准选题做好准备；积累优质教学资源，建立教学资源库.总之，只有备课前的资源积累达到一定程度，教学才会游刃有余.

二、注重对教材内容的整体把握

教师备课时应认真解读教材，读懂教材应教什么、怎么教，读出教材承载的厚度和深度，并注重在整体上进行把握.

首先，要读懂教材内容的结构，其教学内容在具体章节的编排顺序，浏览教材的目录和编排特点，看教学内容在教材中是怎样具体安排的，正确定位教材内容的属性，把握好每一节在单元中所起的作用，以及为学生后续学习提供什么样的基础.只有这样，才能制订好教学目标.

其次，要读懂教材中问题情境的编排意图，思考教材提供了哪些要求或者操作建议，设计了哪些师生活动，如何引导学生去解决问题.以上这些问题，教师都必须认真研究，做到心中有数.

【案例1】苏教版数学必修5《解三角形》中《正余弦定理》一章的备课.

若使用传统的正余弦定理的引入方式，则缺少整体间的内在联系.研读全章后发现：向量等式[BC=BA+AC]贯穿了整章内容，基于这个特点，备课时可考虑将该等式贯穿整章内容，使其成为本章的“中心句”.对此，教学设计时可抛出问题：如何将向量等式数量化？

方案1：两边平方，整理后即得余弦定理.

方案2：两边同时点乘[BC]（或[BA ， ][AC]），整理后即得三角形的射影定理.

方案3：两边同时点乘[AD]（[AD]为[BC]边上的高），整理后得正弦定理.

如此导入，可以一同生成正余弦定理的探究教学，有利于学生整体把握两个定理之间的内在联系，有利于培养学生的探究能力，还有利于向学生渗透如何将向量等式数量化的重要思想方法.

三、注重对教材例题的整合

数学教育家波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”对教材中出现的例题或习题进行适当的改编、重组，使其成为考题是江苏高考数学命题的一大特点.

针对三星级高中学生的特点，笔者在备课时一般先了解本章内容中主要知识点的能力要求，然后再将教材和教辅资料中的大部分习题 “试水”一遍，最后对各类习题进行精心筛选，并进行重组或补充.

【案例2】苏教版数学必修5第14页例1和例3.

例1.△ABC中，（1）已知b=3，c=1，A=60°，求a.（2）已知a=4，b=5，c=6，求A.

例3.用余弦定理证明：在△ABC中，当[∠C]为锐角时，a2+b2>c2；当[∠C]为钝角时，a2+b2

对于这两个例子，如果逐一讲解，可能会比较分散，不利于学生更好地掌握解决这一类问题的方法.于是笔者在相关配套练中通过适当改编和重组，将这些题目有机整合在一个题组中，并以“分步到位”和“螺旋式上升”为原则进行编排，收到了较好的教学效果.

重组的例题：△ABC中，（1）已知b=5，c=8，A=60°，求a；（2）已知a=7，b=5，c=8，求A；（3）已知a：b：c=7：5：8，求A；（4）已知sinA：sinB：sinC=7：5：8，求A；（5）已知a：b：c=7：5：8，求最大角的余弦值，最大角和最小角之和；（6）若[∠C]为钝角，试证明a2+b2 < c2；（7）已知a=7，b=5，若[∠C]为钝角，求c的取值范围.

【案例3】以下是一组典型的“与多元最值有关”的分段函数取值范围问题，解决这类问题要注重其函数方程的特点，通过“降维”，将多元问题降为一元问题.备课中将这些相关联的题目重组成题组，难度螺旋式上升，环环相扣，为学生搭设“脚手架”，有利于学生逐步向上攀爬，系统地解决问题.

题组：已知函数[f（x）=lgx ，则 f14 ， f13 ， f（2）]的大小關系为__________.

（1）若[f（a）=f（b） ，]猜想[a]与[b]的关系.

（2）已知函数[f（x）=][lgx ， 010.]若a，b，c互不相等，且[f（a）=f（b）=f（c），]则abc的取值范围是__________.

（3）已知函数[f（x）=][2x-1 ，x<1，2-x，x≥1.]若a，b，c互不相等，且[f（a）=f（b）=f（c），]则2a+2b+2c的取值范围是 .

（4）（2018年苏锡常镇二模，13）已知函数[f（x）=][12（x+3+1） ，x ≥ 0，ln x， x>0.]若存在实数a

四、注重对教材习题的开发

教材凝聚了专家们的心智，教材中的内容具有很强的基础性、典型性和示范性，它是教师教学的基础和根本，也是高考命题者的立足点.尤其是数学教材中的例、习题，它们都是经过专家精心构思、反复推敲后选定的，大部分题目比较基础，入口浅，有利于学生夯实基础知识.同时，教材中的许多例、习题还能进行深入的挖掘与拓展.可见，数学教材不仅是教师施教、学生学习的主要载体，还是高考命题的重要依据.数学教师在备课时应认真钻研教材，活化教材内容，进一步开发教材，拓展其教育教学功能.

【案例4】苏教版数学必修2第100页习题：已知点[M（x，y）]与两个定点[O（0，0），A（3，0）]的距离之比为[12]，那么点[M]的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点[M]所形成的曲线.

教学中，可以将此题推广为一般情形：已知点[M（x，y）]与两个定点A，B的距离之比为[λ（λ≠1）]，那么点[M]的轨迹是什么？（阿波罗尼斯圆）

江苏高考数学中的相关考题：

1.（2008·江苏·14）满足条件AB=2， [AC=2BC]的三角形ABC的面积的最大值是 .

2.（2013·江苏·17）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线[l：y=2x-4]，设圆C的半径为1，圆心在直线[l]上.

（1）若圆心C也在直线[y=x-1]上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标[a]的取值范围.

平时教学中，若对教材中出现的这一习题进行适度开发和拓展，必然能收到事半功倍的教学效果.

五、注重对数学基本思想方法的提炼

1.注重对教材中重要定理证明思想方法的提炼

教学中，发现部分教师往往忽视重要定理证明的过程，急于求成.从长期来看，效果未必好.事实上，教材对公式、定理给出的推导方法，一方面是数学思想方法的体现，让学生掌握这些推导方法，能提高学生的推理能力和解决问题的能力；另一方面，这些推导方法也是命题教师命题的依据，命题教师可以借助于这些方法去命制新的试题.对此，教师应注重提炼教材中重要定理证明所蕴含的思想方法，并引导学生掌握.

【案例5】苏教版数学必修4“平面向量基本定理的证明”.该定理主要运用平行四边形法则，并结合共线定理进行证明，突出了基底思想.围绕该定理的证明思想，也有不少考题.例如：

1.（2014年苏州高一期末考试，12）平面内有三个向量[OA]、[OB]、[OC]，其中[OA]与[OB]的夹角为120°，[OA]与[OC]的夹角为30°，且|[OA]|=|[OB]|=1，|[OC]|=4[3]，若[OC]=[m][OA+nOB]（m，n∈R），则m+n的值为 .

2.（2017·江苏·12）如图2，在同一个平面内，向量[OA]、[OB]、[OC]的模分别为1、1、[2]，[OA]与[OC]的夹角为[α]，且[tanα=7]，[OB]与[OC]的夹角为45°.[OC]=[mOA+nOB]（m，n∈R）， 则m+n .

当学生掌握了平面向量基本定理的证明思想方法后，看到以上兩题对应的图形，自然就会想起证明平面向量基本定理时所构建的基本模型，解决以上两题也就有了思路.

2.注重对解题中数学基本方法的提炼

函数的教学是高中数学教学的一个难点，三星级高中的学生往往对函数“望而生畏”.江苏考题往往会通过基本函数生成一些“陌生”的函数，综合考查函数的性质.如何引导学生掌握分析函数的一般方法策略，是教师在备课中需要重点考虑的问题.

【案例6】题组：1.已知函数f （x）=x2- cos x，对于[-π2，π2]上的任意x1，x2，有如下条件：①[x1>x2]； ②[x21]>[x22]；③ [x1][ >x2].其中能使[f（x1）>f（x2）]恒成立的条件序号是 .

2.对于给定的函数f（x）=2x-2-x，有下列4个结论，其中正确结论的序号是________.

（1）[ f（x）=0]的图像关于原点对称；

（2） [f ][（log23）=2]；

（3） [f（x）]在R上是增函数；

（4）[fx]有最小值0.

3.已知函数[f（x）=x1+x（x∈R）] 时，则下列结论不正确的是 （填序号）.

（1）[?x∈R]，等式[f（-x）+f（x）=0]恒成立；

（2）[?] m [∈]（0，1），使得方程[f（x）][=m]有两个不等实数根；

（3）[?x1，x2∈R]，若[x1≠x2]，则一定有[f（x1）≠（x2）]；

（4）[? k∈（1+∞）]，使得函数[g（x）=f（x）-kx]在R上有三个零点.

4.（2017·江苏·11）已知函数[f（x）=x3-2x+ex-1ex]，其中e是自然数对数的底数，若[f（a-1）+f（2a2）≤0]，则实数a的取值范围是 .

通过以上题组可以引导学生对函数问题形成这样的分析策略：以定义域为前提，以导数为工具，结合函数的性质，发挥函数的图像功能.

3.注重知识育人功能的挖掘

数学课堂，不仅仅是传授知识的课堂，更应是育人的课堂，充满人情味的课堂.并不是所有的数学知识都是“冰冷的”，其背后蕴藏着很多育人的功能.在备课时，教师可以充分挖掘一些知识的育人功能，进而起到“润物细无声”的教育效果.

【案例7】苏教版数学必修1“幂函数”教学中，待总结归纳幂函数的共同性质后，可以顺势讲解：我们班的每个学生都不一样：高、矮、胖、瘦，但有一点是一样的：我们都有一颗善良的心——这就是我们的共同“性质”.相信这样“细无声”的育人，会引起学生心灵上的共鸣.

综上可知，备课是课堂教学的关键环节，是提高教学质量的前提条件.教师若能在备课中对教材多一些研究，多一点思考，定能活化教材内容，拓展教育教学功能，从而有效提升高中数学教学质量.

（责任编辑 黄春香）