三星级高中学生数学的转化策略

冯中芹

[摘 要]“三星级”高中学生基础薄弱，理解能力较差.研究“三星级”高中学生对数学学习为什么会产生困难？是一项较为重要的研究课题.

[关键词]三星级高中；数学教学；策略

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）32-0009-02

本文从分析学困生的成因出发，结合自己的教学经验.从帮助学生创建数学“语法结构”、构建数学“解题大纲”、构建数学“解题套路”三点出发，结合例题具体分析.

一、帮助学生创建数学“语法结构”

大家都知道，解题从审题开始，审题也是解决问题的关键.然而在日常数学教学中，我发现很多学生在做题时看不懂题目的意思，不能理解题意.特别是对于条件非常多的题目，学生会感觉头脑一片空白.过后我问他们，他们都会说：“题目太难”“ 根本看不懂”.但是经过我的点拨 ，他们又会觉得比较容易.其根本原因并不是问题难，而是学生的审题能力比较差.

审题，就是在对问题进行感知的基础上，通過对问题的数学特征进行分析，从而对所要解决的问题在头脑中有一个清晰反映的思维活动.那么在数学教学中怎样帮助学生准确审题呢？应该注意分析学生产生审题障碍的原因，寻找对策，培养学生的审题能力.创建数学“语法结构”就是一个很好的方法.所谓“语法结构”就是将一类题目中的条件抽象成数学语言公式，当学生看到题干中的条件就能想到抽象的数学语言公式.

[例1]如图1，在平面直角坐标系[xOy]中，已知圆[C：x2+y2-4x=0]及点[A（-1，0）]，[B（1，2）].

（1）若直线[l]平行于[AB]，与圆[C]相交于[M]、[N]两点，[MN=AB]，求直线[l]的方程；

（2）在圆[C]上是否存在点[P]，使得[PA2+PB2=12]？若存在，求点[P]的个数；若不存在，说明理由.

分析：本题第二问是双轨迹问题，有一个轨迹是隐藏起来的，所以此类问题许多学生不理解题意.因此，教师在教学过程中，可以帮学生构建 “语法结构”.即抽象成数学语言公式，条件“在圆[C]上是否存在点[P]”可以抽象成曲线[E]；条件“使得[PA2+PB2=12]”可以抽象成曲线[C]；问题“求点[P]的个数” 可以抽象成曲线[E]与曲线[C]的交点个数.

解：（1） 圆[C]的标准方程为[（x-2）2+y2=4]，所以圆心[C（2，0）]，半径为[2].

因为[l // AB]，[A（-1，0）]，[B（1，2）]，所以直线[l]的斜率为[2-01-（-1）=1]，

设直线[l]的方程为[x-y+m=0]，

则圆心[C]到直线[l]的距离为[d=2-0+m2=2+m2].因为[MN=AB=22+22=22]，而[CM2=d2+MN22]，所以[4=（2+m）22+2]，解得[m=0]或[m=-4].

故直线[l]的方程为[x-y=0]或[x-y-4=0].

（2）假设圆[C]上存在点[P]，设[P（x，y）]，则[（x-2）2+y2=4]，[PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2][+（y-2）2=12]，即[x2+y2-2y-3=0]，即[x2+（y-1）2=4]， 因为[2-2<（2-0）2+（0-1）2<2+2]，

所以圆[（x-2）2+y2=4]与圆[x2+（y-1）2=4]相交，故点[P]的个数为[2].

点评：通过帮助学生构建 “语法结构”，即抽象成数学语言公式，学生很快能理解题意，将题目问题转化为求圆[C]：[（x-2）2+y2=4]与圆[x2+y2-2y-3=0]的交点个数.

二、帮助学生构建数学“解题大纲”

所谓构建数学“解题大纲”，即构建思维导图.思维导图作为一种辅助记忆和思维的工具，教师如能在教学中有效应用，将有利于指导学生掌握更科学有效的知识建构方法，帮助学生建构起科学的知识体系，从而逐渐提高学生学习的自主性和课堂教学的效率.教师应让学生学会解题，将复杂问题程序化，使学生在探索过程中不易逻辑错位，易掌握学习要点和学习目的，让学生保持思路清晰、思维缜密.

比如，在函数综合题中，第一问一般是求单调区间极值、最值等问题，这一类问题比较简单，基础比较薄弱的学生也是能认真完成的.但是在教学过程中，学生往往只会求导数，之后令导数等于零，接下来面对导函数中的参数就不知所措了.因此要解决这一问题，思维导图是一个很好的办法.在思维导图（图2）中函数的单调性、极值等性质很清楚，不仅能够减少学生的错误，而且能让他们养成良好的解题习惯.

[例2]已知函数[f（x）=（lnx-k-1）x][（k∈R）]，当[x>1]时，求[f（x）]的单调区间和极值.

分析：绘制本题的思维图，如图3.

解：∵[f（x）=（lnx-k-1）x][ （k∈R）]，

∴[x>0]，[f（x）=lnx-k]，

①[k≤0]时，∵[x>1]，∴[f（x）=lnx-k>0]，函数[f（x）]的单调增区间是[（1，+∞）]，没有单调减区间，没有极值.

②当[k>0]时，令[lnx-k=0]，解得[x=ek]，

当[1ek]时，[f（x）>0]，

∴函数[f（x）]的单调减区间是[（1，ek）]，单调增区间是[（ek，+∞）]，在区间[（1，+∞）]上的极小值为[f（ek）=-ek]，无极大值.

点评：解此类题目，一步错，满盘皆输，所以一定要让学生有足够的重视，特别是基础薄弱的学生，通过让学生画思维导图，及按照思维导图的流程书写解题过程，能使学生养成良好的解题习惯.

三、帮助学生构建数学“套路”

“圆锥曲线焦点弦”问题，对于三星级学校的学生来说非常难，但是细心的教师会发现，这类问题是有“套路”可循的.圆锥曲线焦点弦问题主要的解题思路是“设而不求”，根据题意巧妙设未知数，设直线方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，而未知数本身却不需要求出.又如证明定值的题目，我们常用的方法是设点、设角.将需要证明是定值的量用变量表示，化简最后得到定值.

[例3]如图4，已知椭圆的方程：[x29+y2=1.][ A1、A2]是左顶点和右顶点，[F1、F2]是左右焦点，过左焦点[F1]作一条直线，分别交椭圆于[M、N]两点，设直线的斜率是[k]，当[k]取什么值时，[MN]等于椭圆短轴的长？

解：设[M（x1，y1），N（x2，y2）]，椭圆的方程为[x29+y2=1].

[∴]直线[MN]方程为[y=k（x+22） ]，

解方程组[x29+y2=1 ，y=k（x+22） ，]消去[y]得

[（1+9k2）x2+362k2x+9（8k2-1）=0].

[∴|MN|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=36（1+k2）+36k2（1+k2）（1+9k2）2=6+6k21+9k2] =2，

解得 [k=±33].

[例4]過椭圆[x24+y23=1]的焦点F任作一条与[x]轴不垂直的直线[l]，与曲线相交于点A、B，线段AB的中垂线交[x]轴于点M，求证[ABFM]为定值.

解：设直线[AB]与[x]轴的夹角为[α]，[B]点的横坐标为[x0]，则[0<α<π2].不妨设[AF>BF]， [x0-c=BFcosα]，[x0=BFcosα+c]，[BF=a-ex0]，[BF1+ecosα=a-ec]，[BF=a-ec1+ecosα=b2a-ccosα]，

同理 [AF=b2a+ccosα]；

[∵a=2，b=3，c=1].

[∴BF=b2a-ccosα=32-cosα；]

[AF=b2a+ccosα=32+cosα]，

[AB=AF+FB=b2a-ccosα+b2a+ccosα=124-cos2α].

设AB的中点为N，则

2[FN=BF-FA=22-cosα-32+cosα=6cosα4-cos2α]，即 [FN=3cosα4-cos2α].

在[Rt△MNF]中，[MF=NFcosα=34-cos2α]，

从而[ABFM=4]是定值.

点评：例3、例4，一个设角，一个设边，解题过程固定，但需要有一定的计算量.如果学生能掌握这样的“套路”，那么其他问题也能解决.因此，在教学中，教师应该强调解题的通法，加强积累，适当总结.

总之，在教学中，教师只要从实际出发，运用正确的教学方法，科学引导，学生的成绩肯定会提高.正如浙江省特级教师杨象富老师所说：“教学之后，静心回味，写下一孔一得之见识，记下一题一句之偶得，反思曾有的疏漏、失误，欣赏教学激情迸发的‘思维火花.”

（责任编辑 黄桂坚）