关于庙会游戏得奖概率的研究

王斌?陈柏健

摘要：庙会的娱乐项目吸引了很多游客的参与，但是许多人却无功而返。经过我们的观察发现，其中奖率低的原因就在于场地的设计。为了提醒和警示那些只为了奖品的参与者小心为妙，不要对奖品抱有太大希望，要以娱乐为主。我们展开了此课题的研究。

關键词：数学建模；统计分析；分类讨论；概率计算

庙会游戏的玩家必须站在外圈外，将一枚游戏币（直径为2cm每枚5元）抛入场地，若硬币全部落在玻璃圆盘内，则获得大奖（零售价大约为30元），若未全部落在圆盘内或落在圆盘外皆无奖。我们采集了其他玩家参与此游戏的数据，发现20个参与者，一共投了168次，只投中了6次，概率仅有3.57%。由此可见，这个游戏的中奖概率极低。

概率如此之低的游戏，导致其因素都哪些呢？通过观察和思考我们发下，可能导致中奖概率太低的因素有如下三条：

（1）面积：圆盘面积、圆盘外外场内面积

（2）因为材料原因，硬币落在圆盘内弹起，落在圆盘外不弹起

（3）扔硬币的起始高度、力度（抛物线）

在此基础上我们建立模型进行分析。

由于硬币在玻璃上运动会弹起，而硬币在空中的运动轨迹近似抛物线，所以将运动的轨迹抽象成几个抛物线的组合，如下图所示。

其中，硬币从手抛出时刻位于第一个抛物线任意一点，人可以控制的只有h和s。

h：硬币第一个抛物线的高度

s：硬币经过的第一个抛物线在地面上的投影长度

由于硬币和玻璃间碰撞会损失能量，所以设每一次弹起的高度会有减小，但我们假设抛物线的形状不变（a）不变，只是抛物线的位置变化了。

m：相邻两个高度值，后一个与前一个之间的比值，即为衰减率

在图中的直角坐标系中，对于第一个抛物线，有点（0，0）点（s/2，h）点（s，0），所以第一个抛物线解析式为y=（-4h/s）×x×（x-s），所以易知A1A2=s，

第二个抛物线中，有点（s，0），抛物线的a与第一个抛物线相等，顶点到x轴的距离是mh，所以第二个抛物线的方程为y=（-4h/s）×（x-s）×（x-s-），所以易知A2A3=，第三个抛物线中，有点（s+，0），抛物线的a与第一个抛物线相等，顶点到x轴的距离是m2h，所以第三个抛物线的方程为y=（-4h/s）×（x-s-）×（x-s--）所以易知A3A4=

……

由上述的规律，可知AnAn+1=（n大于等于2）

所以X==s+{}

概率计算

若硬币第一次落地刚好落在第一个圆盘最右端，最后停止在圆盘上，则s=129，这时可以算出：X=s+{} ≈141.29

若硬币最后停止在第一个圆盘最左端，则X=s+{}=159

解出s≈145.93，所以易知可行的s范围是[129， 145.93]

以此类推，可以计算在第二个乃至第五个圆盘降落的s范围。

综上所述，则可行的s的范围：

此时的概率为：

P1=≈12.3538%

由于硬币在落入盘中时，有可能会滑动导致滑出圆盘，极大地缩小了概率，为了统计滑出圆盘的概率，我们在自制场地上进行了实验：从圆盘上10cm以各个方向，适宜的力度向盘上投掷硬币（模拟硬币最后着陆的过程）。计算未滑出的概率P0=27/160≈16.88%

综上所述：最终的概率为P=P0×P1=2.09%

结论

本文先进行了实验，统计出平均概率大约为1.07%。后又进一步实验，使用一种高概率的方法进行投掷，统计出平均概率大约为1.26%。之后，我们又建立了数学模型，算出了这种概率高的方法的理论概率为2.09%。

从这里我们可以看出，即使是用高概率的方法进行投掷，概率仍只有1～2%，足以体现出此游戏概率之低。

通过对庙会游戏得奖概率的研究与计算，我们发现此类游戏的得奖概率极低，我们在此呼吁大家，在玩此类游戏时不要抱有一定要得奖的心理，重在参与，体验其中的乐趣。其次，我希望游戏举办者可以参考以上概率，根据情况提高得奖概率，以便吸引更多的玩家参与进来。

作者简介：

王斌（2000.07.19）男，籍贯：北京昌平，学校：北京市昌平第二中学；

陈柏健（2000.04.14）男，籍贯：北京昌平，学校：北京市昌平第二中学。endprint