也谈直线的倾斜角与斜率问题

2018-01-11 12:03刘政硕指导老师张志华
中学生数理化·高一版 2017年12期
关键词:倾斜角过点斜率

■刘政硕(指导老师: 张志华)

也谈直线的倾斜角与斜率问题

■刘政硕(指导老师: 张志华)

经过两点有且只有(确定)一条直线。那么,经过一点的直线的位置能确定吗?若能确定,还需要哪些条件?下面分类解析。

一、直线的倾斜角

当直线l与x轴相交时,x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角。倾斜角α的取值范围是0°≤α<l80°,特别地,当直线和x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线和y轴平行或重合时,倾斜角为90°。

例 1 已知两点A(3,—3),B(2,2),过点O(0,0)的直线l与线段AB有公共点,求直线l的倾斜角α的取值范围。

解:画出简图,如图l。由题意可知直线OA的倾斜角为l35°,直线OB的倾斜角为45°,要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤k≤45°或l35°≤k<l80°。

规律总结:求直线的倾斜角,要注意适合题意的区域包含水平直线时,倾斜角α的取值范围形式为0°≤α≤αl或α2≤α<l80°。

图l

变式训练1:如图2,已知直线ll,l2,l3的 倾斜 角 分别 为 αl,α2,α3,则( )。

A.αl<α2<α3

B.α3<αl<α2

C.α3<α2<αl

D.αl<α3<α2

提示:如图2,用逆时针方向画3个箭头,可知α3<α2<αl。应选C。

图2

二、直线的斜率

倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率,用k表示,即k=tanα(α≠90°)。倾斜角是90°的直线没有斜率,也可以说一条直线的倾斜角一定存在,但斜率不一定存在。

例2 已知两点A(—3,4),B(3,2),过点P(l,0)的直线l与线段AB有公共点,求直线l的斜率k的取值范围。

解:画出简图,如图3所示。由题意可知kPA==l。要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤—l或k≥l。

图3

规律总结:求直线的斜率,要注意适合题意的区域包含竖直直线时,斜率k的取值范围形式为k≤kl或k≥k2。

变式训练2:如图4,已知直线ll,l2,l3的斜率分别为kl,k2,k3,则( )。

A.kl<k2<k3B.k3<kl<k2C.k3<k2<klD.kl<k3<k2

提示:如图3,用逆时针方向画3个箭头,可知kl<0,k2>k3>0,所以k2>k3>kl,应选D。

图4

河南商丘市第一高级中学

(责任编辑 郭正华)

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