也谈直线的倾斜角与斜率问题

■刘政硕（指导老师： 张志华）

也谈直线的倾斜角与斜率问题

■刘政硕（指导老师： 张志华）

经过两点有且只有（确定）一条直线。那么，经过一点的直线的位置能确定吗？若能确定，还需要哪些条件？下面分类解析。

一、直线的倾斜角

当直线l与x轴相交时，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角。倾斜角α的取值范围是0°≤α＜l80°，特别地，当直线和x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线和y轴平行或重合时，倾斜角为90°。

例 1 已知两点A（3，—3），B（2，2），过点O（0，0）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的倾斜角α的取值范围。

解：画出简图，如图l。由题意可知直线OA的倾斜角为l35°，直线OB的倾斜角为45°，要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤k≤45°或l35°≤k＜l80°。

规律总结：求直线的倾斜角，要注意适合题意的区域包含水平直线时，倾斜角α的取值范围形式为0°≤α≤αl或α2≤α＜l80°。

图l

变式训练1：如图2，已知直线ll，l2，l3的 倾斜 角 分别 为 αl，α2，α3，则（ ）。

A.αl＜α2＜α3

B.α3＜αl＜α2

C.α3＜α2＜αl

D.αl＜α3＜α2

提示：如图2，用逆时针方向画3个箭头，可知α3＜α2＜αl。应选C。

图2

二、直线的斜率

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，用k表示，即k=tanα（α≠90°）。倾斜角是90°的直线没有斜率，也可以说一条直线的倾斜角一定存在，但斜率不一定存在。

例2 已知两点A（—3，4），B（3，2），过点P（l，0）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。

解：画出简图，如图3所示。由题意可知kPA==l。要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤—l或k≥l。

图3

规律总结：求直线的斜率，要注意适合题意的区域包含竖直直线时，斜率k的取值范围形式为k≤kl或k≥k2。

变式训练2：如图4，已知直线ll，l2，l3的斜率分别为kl，k2，k3，则（ ）。

A.kl＜k2＜k3B.k3＜kl＜k2C.k3＜k2＜klD.kl＜k3＜k2

提示：如图3，用逆时针方向画3个箭头，可知kl＜0，k2＞k3＞0，所以k2＞k3＞kl，应选D。

图4

河南商丘市第一高级中学

（责任编辑 郭正华）