从“想不到”到“想得到”到“想得清”

尉贵生

【摘要】文章通过对一个常见数列不等式证明过程中学生出现的思维障碍分析，挖掘该类问题的本质内涵和问题背景，从而提升问题解决过程中的思维深刻性和逻辑严密性.

【关键词】高中数学;归纳;分析

一、想不到

在一次学生的课外作业中，笔者布置了下面一道数列不等式的证明题：已知n∈N*，求证：1+12+13+…+1n<2n.

由于笔者所带的学生数学基础相对较好，尽管当时学生还没有学过数学归纳法，我认为总会有部分学生能证明这个不等式.而事实上，在作业反馈时，居然没有一位同学能正确做出解答，这是我事先“想不到”的！

在第二天作业讲评时，我给出了该不等式的证法.

证明 由n∈N*，1n=22n<2n+n-1=2（n-n-1），

得1+12+13+…+1n<2[（1-0）+（2-1）+（3-2）+…+（n-n-1）]=2n.

在学生看了给出的证法之后，在感叹放缩之精妙的同时，又给出了一声叹息：“想不到”！

这两个“想不到”引起了我的思考.一方面，我们在进行解题教学的时候，我们忽略了学生的认知构建，忽略了学生是学习活动的主体这一基本原则.另一方面，对一些数学问题的解答，我们自己也常常凭借经验进行直接搬用、套用和模仿，缺少对问题本质的深层次思考.如果按照这样的教学模式长此以往，我们学生的思维也会变得越来越僵化，思路也会变得越来越单一，我们每个人的大脑都将变成别人思想的跑马场，这将是教育的悲哀.

那么，怎么样才能让学生从“想不到”到“想得到”呢？

二、想得到

事实上，从不等式的结构形式来看，不等式左边是一个数列的前n项和（无限的），右边是一个给定的根式（有限的），要来比较两者的大小，一种思路是将不等式左边进行求和化简，把无限项转化为有限项，再对有限项与有限项进行比较大小，但要对不等式左边直接进行放缩求和，思路似乎也不是很顺畅，这也就陷入了“有方向但想不到”的境地.

另一种想法是，干脆把不等式右边的有限项转化为无限项的和，使两边都拥有“一样多”的无限项，通过比较每一项的大小来研究它们各自和的大小，由此，我们有了下面的想法.

不妨记数列an=1n，{an}的前n项和为Sn=1+12+13+…+1n，记另一个数列为{bn}，它的前n项和为Tn=2n.则当n≥2时，有bn=Tn-Tn-1=2（n-n-1），上式对n=1也适合，故bn=2（n-n-1）.下面只要比较an=1n与bn=2（n-n-1）的大小即可，而bn=2（n-n-1）=2n+n-1>2n+n=1n=an，对n∈N*都成立，故Tn>Sn，即证.

对上述证法，我们可以得出如下性质.

性质1 数列{an}和{bn}满足an>bn，对n∈N*都成立，则∑nk=1ak>∑nk=1bk.

对性质1，我们做适当的类比，还可得到如下结论.

性质2 数列{an}和{bn}满足an>bn>0，对n∈N*都成立，则：∏nk=1ak>∏nk=1bk.

例1 已知n∈N*，求证：2·4·6·…2n1·3·5·…（2n-1）>2n+1.

证明 记数列an=2n2n-1，数列{bn}的前n项积记为Tn=b1·b2·…bn=2n+1，則当n≥2时，有bn=TnTn-1=2n+12n-1，上式对n=1也适合，故bn=2n+12n-1，n∈N*.由于an=2n2n-1=4n22n-1>4n2-12n-1=2n+12n-1=bn>0，故2·4·6·…2n1·3·5·…（2n-1）>31·53·…2n+12n-1=2n+1.

三、想得清

上面是我们通过对无限与有限的相互转化来研究该数列不等式的证明，并且也给出了这一类不等式证明的通法，当然，这类问题我们也可用数学归纳法来尝试，而数学归纳法的关键是要把无限问题通过递推转化成有限问题来处理.

除了对该不等式的结构特征做分析思考之外，其实，我们还可以从“形”的角度来做进一步研究，借助“形”我们对问题本质进行更深入的理解.

记f（x）=1x，作出图像如右图所示，把区间[0，n]等分成n个小区间：[0，1]，[1，2]，…[n-1，n]，过每一个区间右端点作x轴的垂线与f（x）=1x相交，如图所示作出n个小矩形，记这n个小矩形的面积和为Sn，则Sn=1+12+13+…+1n.又由于f（x）=1x与x=0，x=n，y=0所围成的曲线的面积为∫n01xdx=2x|n0=2n，由图显然可得Sn<∫n01xdx，即得所证不等式.

按照上面的想法，其实，我们还可以得到下列不等关系：

对n∈N*，有2（n+1-1）<1+12+13+…+1n<2n.