例谈巧取倒数妙求特殊分式的值、比较大小

张前

【摘要】通过计算求值、比较大小，是初中数学中的常见题型，也是学生学习必须具备的基本技能，其中有些难度较大的特殊分式的求值问题、比较大小问题，若直接求解，往往无从下笔，如果变换思路，根据题目条件或所求结论，倒过来求解，则立即奏效，变难为易，此为倒数法.

【关键词】倒数法;特殊分式求值;比较大小

倒数法分式求值的基本思路是：涉及的分子是单项式，分母是多项式的求值问题时，直接求解往往有困难，可考虑它的倒数，将分式的分子和分母颠倒位置，再利用分式的加減法综合题目条件求解;而倒数法比较特殊分式大小的基本思路是：涉及的分子是单项式，分母是多项式的比较大小问题时，直接比较或用作差法比较往往很困难，此时考虑它们的倒数，将分式的分子和分母颠倒位置，再利用分式的加减法综合题目条件，从而得出所求结论;下面来举例进行分析.

一、巧变形，妙求值：变形已知条件或待求式，求特殊分式的值

例1 已知xx2-3x+1=15，求x2x4+x2+1的值.

分析 将已知等式两边同时取倒数得：x2-3x+1x=5，整理得：x+1x=8，而待求式子的倒数为x4+x2+1x2=x2+1x2+1=x+1x2-1，将x+1x=8整体代入，求出待求式子的值.

点拨 本题中，通过方程，以学生的已有知识无法解出x的值，故采用倒数法，先求已知条件的倒数，再求所求式子的倒数，使问题的解答得以简化，体现了转化思想，而公式变形本身也是转化思想的体现;同时也体现了整体思想.

反思 若给出的已知条件是一元二次方程，求分式的值，所用的方法是否依然可行？

变式 已知a2-3a+1=0，求a2a4+1的值.

解析 当然可行.由题意得：a≠0.先将已知等式移项后两边同时除以a，整理可得：a+1a=3，而所求式子的倒数为：a4+1a2=a2+1a2=a+1a2-2，将a+1a=3整体带入，解出所求式子的值.这就是我们在数学学习品质之中所提倡的“反思与解释”，也是数学理性精神之中的“理性反思”——在反思中求变、变中有不变、变中找不变.

例2 已知a，b，c为实数，且aba+b=13，bcb+c=14，cac+a=15，求abcab+bc+ca的值.

分析 发现本题所求的式子无法再化简，也不能直接把已知条件代入，而根据条件直接求出a，b，c的值，再带入求值的方法显然是不可取的，因此，只能将已知条件和待求式进行变形转化寻找突破口.我们来采用倒数法进行求解.由已知条件显然有a，b，c都不为0，将三个已知条件利用倒数的知识，得到：a+bab=3，b+cbc=4，cac+a=5，再将三个等式左边拆分可得：1b+1a=3……①，1c+1b=4……②，1a+1c=5……③，由①+②+③得：1a+1b+1c=6.根据之前结论，再次利用倒数法先求出所求式子值的倒数，从而求出原分式的值.

解 ∵aba+b=13，bcb+c=14，cac+a=15，

∴a，b，c都不为0，

∴a+bab=3，b+cbc=4，cac+a=5，

∴1b+1a=3，①

1c+1b=4，②

1a+1c=5.③

①+②+③得：21a+1b+1c=12，

∴1a+1b+1c=6，∴ab+bc+caabc=6，

∴abcab+bc+ca=16.

反思 若直接给出1a，1b，1c每两个的和，上述方法是否依然成立？

变式 已知1a+1b=16，1a+1c=19，1b+1c=115.求abcab+bc+ca的值.

解析 当然成立.由已知的三个等式相加得到1a+1b+1c=31180.再将所求式的倒数形式表示出来进行求值，所得值的倒数为所求式的值.

规律总结：不要一味地想到解方程求未知数的值，要用整体思想看条件和结论.本题的巧妙之处在于不是从已知条件和要求的形式入手，而是从它们的倒数入手，大幅度地降低了解题的难度，很巧妙地得到了分式的值.

二、巧妙变形，比较大小：变形已知条件或待求式，比较分式的大小

例3 已知a，b，c，d都是正实数，且ab

A.x>0

B.x≥0

C.x<0

D.x≤0

解 ∵a+bb=ab+1，c+dd=cd+1，

∴a+bb-c+dd=ab+1-cd+1，

∴a+bb-c+dd=ab-cd.

∵ab

∴a+bb-c+dd<0，

∴a+bb

∵a，b，c，d都是正实数，∴ba+b>dc+d，

∴ba+b-dc+d>0，∴x>0，故选A.

综上所述，解题的关键在于认真审题，分析相关式子（已知的或待求的）在整体上的结构特点，选择恰当的技巧，有时候需要几种技巧融为一体，共同发挥作用.这样变难为易，一目了然，可谓是“柳暗花明”了.