多角度分析问题 提高数学素质

屈娜 刘华 陈春梅

【摘要】本文针对一道高等数学竞赛试题，分别用洛必达法则、无穷小代换、拉格朗日中值定理、导数定义等知识给出了五种解法.对于培養学生发散思维和探索思维，提高学生综合分析和解决问题能力，具有积极的促进作用.

【关键词】洛必达法则;无穷小代换;导数定义;拉格朗日中值定理

【基金项目】高等学校大学数学教学研究与发展中心教改项目（CMC20160405）.

一、引 言

一题多解，即对一个问题从多角度进行分析解答，它有助于学生对所学知识进行巩固、深化和灵活应用.鼓励学生对一个问题进行多角度思考分析，将有助于学生对数学概念的理解和应用，帮助学生进一步加深数学知识、方法和思想的理解和巩固，同时也能把学到的知识、方法和思想迁移到新问题的解决中，可提高学生分析问题、解决问题的能力，利于拓展思路，激发学习兴趣，对于培养学生发散思维和探索思维，提高学生综合分析和解决问题能力，具有积极的促进作用.下面对一道高数竞赛极限试题，通过不同解题思路，得到五种解法，供学生参考.

二、例题分析

例 （2017年陕西省第十一次大学生高数竞赛）

求 limx→∞xsinln1+3x-sinln1+2x.

分析1 首先由于函数自然定义域的限制，该题目中的极限过程应为x→+∞.极限类型为∞·0型，可考虑使用洛必达法则，而洛必达法则处理的是商的极限问题.基于此，可做倒代换，有解法1.

解法1 令t=1x，则t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+cosln（1+3t）31+3t-cosln（1+2t）21+2t

=3-2=1.

分析2 在上述解法倒代换后，得到了较简单的极限形式.此时，可用三角函数和差化积公式或者拉格朗日中值定理来处理，如解法2和解法3.

解法2 令t=1x，则t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+2cosln（1+3t）+ln（1+2t）2sinln（1+3t）-ln（1+2t）2t

=limt→0+2·1·ln（1+3t）-ln（1+2t）2t

=limt→0+ln1+t1+2tt=limt→0+t1+2tt=1.

解法3 令t=1x，则t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）ln（1+3t）-ln（1+2t）·ln（1+3t）-ln（1+2t）t

=limξ→0+cosξ·limt→0+ln（1+3t）-ln（1+2t）t

=1·limt→0+ln1+t1+2tt=1.

分析3 可用点导数定义式来解决，如解法4.

解法4 原式=

limx→+∞3sinln1+3x-sinln13x-limx→+∞2sinln1+2x-sinln12x

=3（sinlnt）′|t=1-2（sinlnt）′|t=1

=1t（coslnt）|t=1=1.

分析4 对于该极限问题，学生首先想到的可能是无穷小代换，但注意教材上结论只适用于乘积（商）的极限中，对于和差中的因子却不能直接替换，注意到此问题后，有解法5.

解法5 当x→0时，sinln（1+x）～ln（1+x）～x，

原式=limx→+∞sinln1+3x1x-limx→+∞sinln1+2x1x

=limx→+∞3x1x-limx→+∞2x1x=3-2=1.

三、小 结

极限概念几乎贯穿于整个高等数学的学习中，极限形式的丰富多彩决定了求极限方法的多种多样.学生可在求解极限的过程中，将思维指向不同的方向，运用过去学过的各种概念、定理、公式等数学知识多种途径、多角度地去探索，这样可加深对所学过的知识的记忆、理解与运用，提高学生的发散思维能力，更好地培养学生的数学素质.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：第6版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]樊映川，等.高等数学讲义[M].北京：高等教育出版社，1964.