实变函数极限的求法

2018-01-07 01:20邓琴
数学学习与研究 2018年19期
关键词:高等数学

邓琴

【摘要】本文主要研究高等数学中函数极限的求法,对函数极限的求法做较系统的归纳总结,给出了几种常用的方法和技巧.

【关键词】函数极限;高等数学;实变函数

一、十三种常用的方法

函数极限的求法是高等数学中的重点和难点.函数极限的求解方法灵活多样,而且目前的教科书对函数极限的求法没有做较系统的归纳.本文主要研究函数极限法,对其求法做较系统的归纳总结,给出十三种常用方法.

1.利用函数极限定义求极限.

2.利用函数极限的四则运算法则求极限.

3.利用左极限和右极限求极限.

4.利用函数的连续性求极限.

5.若极限为00型,可通过因式分解或有理化的方法,然后消去分子、分母的零因子,再求极限或利用已知结果求极限.

6.若极限为∞∞型的有理分式的形式,则利用下面这个公式来求极限:

limx→∞a0xm+a1xm-1+…+amb0xn+b1xn-1+…+bn=a0b0,当n=m,0,当n>m,∞,当n<m,

其中,a0≠0,b0≠0,m,n為非负整数.

7.若极限为∞-∞型,一般通过通分或有理化,消去零因子,再求极限.

8.利用两个重要极限公式求极限.

9.利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质求极限.

10.利用等价无穷小代换的方法求乘积的极限.

11.利用夹逼准则求极限.

12.利用洛必达法则求极限.

13.利用导数定义求极限.

二、应用举例

例1 求 limx→1xn+1-(n+1)x+n(x-1)2.

解 此函数极限属于00型,利用因式分解消去分子、分母的零因子,所以,

原式=limx→1x(xn-1)-n(x-1)(x-1)2

=limx→1x(x-1)(xn-1+xn-2+…+x+1)-n(x-1)(x-1)2

=limx→1[(xn-1+xn-2+…+1)+(xn-2+xn-3+…+1)+…+1](x-1)2(x-1)2

=n+(n+1)+…+1

=n(n+1)2.

例2 求 limx→∞cosxex-e-x.

解 利用无穷小与有界量的乘积还是无穷小的性质,所以,原式=0.

例3 求 limx→0ax+bx+cx31x.

解 此函数极限属于1∞型,利用重要极限公式和等价无穷小替换定理,所以,

原式=limx→01+ax+bx+cx-333ax+bx+cx-3ax+bx+cx-33x,

又因为 limx→0ax+bx+cx-33x

=13limx→0ax-1x+bx-1x+cx-1x

=13lnabc,

所以,原式=e13lnabc=(abc)13.

三、小 结

在求函数极限之前,我们需要先判断此函数极限是属于什么类型的极限,再用对应的方法去求.而且,有些函数的极限是可以采用几种方法求解,或者必须有几种方法的结合才能解出来,这就需要大家在做题时灵活运用这些方法.

【参考文献】

[1]李伟.高等数学习题课教程[M].天津:天津大学出版社,2004.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]刘玉莲.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

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