关于函数极限一题多解的探讨

曾春花

【摘 要】函数极限是微积分的基础，求极限更是高等数学中的基本运算之一。本文通过对函数极限例题一题多解的探讨，使学生熟练掌握求极限的方法，并且培养学生数学思维的灵敏性，提高解题能力。

【关键词】极限；等价无穷小；洛必达法则

The Function Limit Discussion on Multiple Solutions to a Problem

ZENG Chun-hua

（School of Mathematical Sciences， Kaili University， Kaili Guizhou 556011，China）

【Abstract】Limit of function is the basis of calculus. Solveing the limit is one of the basic operations of higher mathematics. In this paper， through the function limit example discussion on multiple solutions to a problem， so that students master the method of solveing limit. It raises the sensitivity of students mathematical thinking，and improve problem-solving ability.

【Key words】Limit；Equivalent infinitesimal；Lobidas law

极限理论是高等数学的重要内容，其思想理念贯穿了高等数学的始终，掌握极限的概念和计算是学好高等数学的基础。如何求函数极限是在高等数学教学中的重点，求极限的方法有很多种，如利用极限定义；利用极限的运算法则；利用函数的连续性；利用兩个重要极限；利用等价无穷小量的替换；利用夹逼准则；利用洛必达法则；利用函数的单调有界性；利用微分和积分的中值定理等等。有关求函数极限的论文很多，例如：文献[1-3] 探讨了求函数极限方法、技巧与应用例析；文献[4]研究了函数极限定义；文献[5]陈龙卫讨论了函数极限计算的一般步骤及其在考研数学中的应用。在求函数极限时从不同角度出发，就得到不同的解题方法，本文通过函数极限例题的一题多解，使学生熟练掌握求极限的方法，并且培养学生数学思维的灵敏性，提高分析和解题能力，从而提高学生的学习兴趣。接下来通过例题来进行分析：

例1 求极限

解法一：这是“”型未定式，利用洛必达法则得==n

解法二：先利用二项式定理把（1+x）n展开得

==

再利用利用等价无穷小量的替换，当x→0时，sinx～x，于是

==C+Cx+…+Cx=n

解法三：利用微分的定义所得的等式，由于（1+x）n=1+nx+o（x），

所以====n

解法四：利用等价无穷小量的替换，当x→0时，sinx～x，（1+x）n-1～nx，于是==n

解法五：利用等式an-1=（a-1）（1+a+a2+…+an-1），于是（1+x）n-1=x[1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n-1]

因此==n

例2 求极限（1+）x

解法一：利用重要极限（1+）φ（x）=e和幂指函数的连续性得（1+）=（1+）x=e=1

解法二：由于（1+）x=e，而当时x>0，ln（1+）<，于是1≤（1+）x=e≤e，且e=1，利用夹逼准则，得（1+）x=1

解法三：由于（1+）x=e，由复合函数的连续性得（1+）x=e=e=e=e=e0=1

利用夹逼准则求极限时，关键要将所给函数适当的放大和缩小，且放大和缩小后的函数有相同极限，通常在求无穷多项和或积时，夹逼准则是一种有效的办法。利用无穷小量替换时，只有分子分母中的乘积因子才能替换，而对函数的加减运算的项不能替换。

通过上面函数极限例题的一题多解，观察到了函数首先要通过公式或恒等变形进行转化，再来求极限。因此平时应熟记常用公式、恒等变形和等价无穷小量，对解决求极限问题事半功倍。通过一题多解的例子，使学生更熟练掌握求极限的方法，并且培养学生数学思维的发散性、灵敏性，增强了解题能力。

【参考文献】

[1]周世新.关于函数极限求法的探讨[J].呼伦贝尔学院学报，2009，1：70-72.

[2]王亮.函数极限的求法、技巧与应用例析[J].河南科技，2013，24：186-188.

[3]贾玉峰.浅谈高等数学中求函数极限的方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2008，3：15-17.

[4]周志昂，杜燕，苏翃.函数极限定义研究[J].重庆理工大学学报（自然科学），2013，5：129-131.

[5]陈龙卫.函数极限计算的一般步骤及其在考研数学中的应用[J].兰州文理学院学报（自然科学版），2014，3：121-124.

[责任编辑：朱丽娜]