数形结合，巧解数学几何题的“杀手锏”

许瑞丰

摘  要：在图形与几何领域，我们都会遇到题目给予的信息较少的几何题。为了提高学生的解题能力，丰富他们的数学思维，在此背景下，笔者以苏教版小学数学教材中“长方形和正方形的面积”为例，通过基础铺垫、难题巧解、拓展延伸等途径，促使学生敢于面对难题挑战，并在解题中获得“四基”。

关键词：数形结合;几何题

一次，笔者在复习苏教版六年级总复习“长方形和正方形的面积”一课后，学生掌握了面积的概念和长方形、正方形的面积计算。但是在巩固作业环节，他们遇到了一道綜合性的面积计算题目，读题后大都感觉题目中直接给予的数学信息太少了，不知道长方形的长和宽，却要求计算原来长方形的面积，因此他们感觉困难重重。这道题目是这样的：如图1，长方形被分割成5个正方形，已知每个大正方形的面积比每个小正方形的面积大5平方厘米，原来长方形的面积是（   ）平方厘米。

一、案例回顾

为了帮助学生能利用少量的数学信息进行有效转化，笔者在全班交流上设计了基础铺垫、难题巧解、举一反三这三个环节，帮助学生利用数形结合的数学思想方法转化题目中的有效信息。

1. 环节一：基础铺垫，回忆面积计算公式

为了帮助学生唤醒三年级学习过的长方形和正方形的面积以及分数知识，笔者先通过一道简单的几何题目导入，不仅帮助学生复习旧知，还增强了学生解决数学问题的信心。

出示题目：如图2，三个大小相同的长方形拼在一起，组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成2份，再把第三个长方形平均分成3份，那么图中阴影部分的面积是大长方形面积的（    ）。

师：同学们，请你先读一读题目，想一想怎么解决这道题目。

生1：我先假设每个长方形的面积是1，那么根据题目意思，第二行阴影部分的面积是1/2，第三行阴影部分的面积是2/3，所以阴影部分的面积是1/2+2/3=7/6，大长方形的面积是3，所以阴影部分的面积是大长方形面积的7/6÷3=7/18。

生2：我的计算过程中都是整数，我假设第三行中每个小长方形面积是2，那么每行的长方形面积是6，因为阴影部分的面积是6÷2+6÷3×2=7，整个大长方形的面积是6×3=18，所以阴影部分的面积是大长方形面积的7÷18=7/18。

生3：我是把第三行中每个小长方形的面积看作“1”，那么每行长方形的面积是3，所以第二行中阴影部分长方形的面积是1.5，阴影部分的面积是大长方形面积的（2+1.5）÷9=7/18。

师：刚才大家想出了很多方法，虽然题目要我们计算图形的面积，但是我们巧妙地运用假设法计算出了各部分图形面积之间的关系。

在这个教学片段中，教师出示了一道图文结合的几何题，看似是要知道长方形和阴影部分的面积是多少，其实我们只要用假设法找到它们之间的数量关系即可，这是一种与以往解题时不一样的新方法。这种方法不仅弥补了题目信息不足的现状，还为后续解决难题拓宽了解题思路。

2. 环节二：难题巧解，寻找多种解题思路

数学知识的获得是循序渐进、螺旋上升的，学生解决复杂的数学题目的能力需要建立在解决基础的数学题目时所积累的数学活动经验和思想方法。此时，学生已经具有了用假设法解决图形面积的相关经验，笔者在此基础上引导学生用画图、凑数、解方程的方法解决相关问题。

出示题目：如图3，长方形被分割成5个正方形，已知每个大正方形的面积比每个小正方形的面积大5平方厘米，原来长方形的面积是（    ）平方厘米。

师：同学们，我们现在再回过来看这道题目，你能想办法解决它吗？

生1：我假设一个小正方形的边长是“1”，小正方形的面积是“1”，那么两个大正方形的边长是“3”，所以一个大正方形的边长是“1.5”，一个大正方形的面积是“2.25”。因为已知每个大正方形的面积比每个小正方形的面积大5平方厘米，也就是说1.25个小正方形的面积是5平方厘米。那我们就计算出了一个小正方形的面积是5÷1.25=4（平方厘米），一个大长方形的面积是9平方厘米，所以原来长方形的面积是4×3+9×2=30（平方厘米）。

生2：我是用画图的方法解决的，我把小正方形移到大正方形里，我发现大正方形里多出5个相同的小小正方形，因为每个大正方形的面积比每个小正方形的面积大5平方厘米，所以每个小小正方形的面积是1平方厘米，每个小正方形的面积是4平方厘米，每个大正方形的面积是9平方厘米，所以原来长方形的面积是30平方厘米。

生3：我是用凑数的方法来解决的，因为2个大正方形的面积等于3个小正方形的面积，每个大正方形的面积比每个小正方形的面积大5平方厘米，我先假设大正方形的面积是6平方厘米，小正方形的面积是1平方厘米，不符合……假设大正方形的面积是9平方厘米，小正方形的面积是6平方厘米，这时2×9=3×6，所以成立了。

生4：我是用方程来解决的，设小正方形的边长是x，那么大正方形的边长是1.5x，所以（1.5x）2-x2=5，所以x2=8，原来长方形的面积是3x2+2×（1.5x）2=30（平方厘米）。

在这个教学的核心片段中，学生依靠前面的知识铺垫和直观的图形，思维瞬间被打开，他们从不同角度解决这个数学问题，发散了他们的数学思维，引导他们学会多角度的思考和解决问题，提高他们的解题技巧和正确率。

3. 环节三：拓展提升，学会分类解决问题

学生解决数学开放题，不仅促进学生巩固学到新知识，还引导他们全面地看待数学问题，学会融会贯通地解决数学问题。为了进一步帮助学生研究这道题目，笔者出示题目时只保留文字，这就给这道题目留下了更大的解决空间。

师：同学们，我们继续来研究这道题目，如果题目变成：把长方形分成5个正方形，每个大正方形面积比每个小正方形大5平方厘米，原来长方形面积是多少？动脑筋想一想，你觉得有哪几种可能。（顿时安静，学生陷入深思）

生：我觉得这道题目要分类讨论，5个正方形就有三种可能：一大四小;二大三小;三大二小;而且在排列上也有两种可能：排成一行或者上下两行。

师：思考得真全面，现在请大家先独立解决，再在小组中交流你們的做法。

生：如果4个小正方形排成一行，设小正方形的边长为a，大正方形的边长为4a，列方程（4a）2-a2=5，a2=1/3，所以原来长方形的面积是四个小正方形的面积加上一个大正方形的面积等于20/3平方厘米……

《义务教育小学数学新课标》中强调“不同的人在数学上有不同的发展”，因此为了满足学有余力的学生，让他们能“跳一跳”摘到更多的数学果子，于是笔者设计了最后一道具有挑战性的开放题，为他们提供挑战自我的机会，熟练掌握更多的解题技巧，提高自我的解题能力。

二、教学反思

通过这一道题引出的一组题目的教学，我们看到学生的学习状态由原来的恐惧、害怕到最后的敢于挑战，这实在是令我们老师开心的事。由此，笔者也想到我们在教学中要先设计具有挑战性的学习任务，把零散的知识块状化，再根据学生的现场学习反馈做出合理的调整，最终设计出适合该年龄段学生学习的练习。

1. 学生学习要遵循他们的客观规律

每个学生获得数学知识的过程都带着自己独有的记忆和烙印，教师为了帮助更多学生能快速有效地获得教材中必须掌握的数学知识时，首先应当遵循学生的数学学习和认知规律，在生理和心理都成熟的时候教给他们适合且需要的时候教学;其次是教师在教学前要先有孕伏，在教学时深入透彻，在教学后要拓展延伸，帮助学生全方位地了解这些知识，努力做到教学无死角。就如本节课中由学生遇到的难题引发的一节数学课，看似教师在这节课上只讲了一道数学题，其实教师从最初的回忆面积公式、方法铺垫到思考难题，一直到最后的知识方法拓展，充分考虑了学生的学习水平，努力让全班学生都有收获。

2. 练习题不仅要“双基”，更要“四基”

无论是数学教学还是数学练习题，教师在备课时都要充分考虑题目的思维含量和难度，确保学生在思考和解题不仅能获得必备的基本知识和基本技能，还能收获基本活动经验和基本数学思想方法。就如本节课中的这道数学题，当学生经历解题和讨论过程后，他们就能掌握这类题目的做法，还需要提炼出解决这种问题可以用假设法、画图、列方程、分类讨论等策略，感悟解题中数形结合带给我们的便捷。

总之，当我们在教学题目给予数学信息较少的几何题时，不妨教给学生用数形结合的方法把题目中的信息进行转化，寻找到条件与问题之间的突破口。