数学让未来先来

陈六一

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对于“用数对确定位置”的教学，有以下说明：“需要先在方格纸上标明正整数的刻度，希望学生能够把握数对与方格纸上点（行列或者列行）的对应关系，并且知道不同的数对之间可以进行比较，这个过程有利于学生将来直观理解直角坐标系。”[1]特级教师周卫东近日在我校以“小鸭在哪儿”为题，引导四年级学生学习“用数对确定位置”，可谓深刻体现了这一主旨。

【片段一】为什么是数对？

教学开始，老师出示

师：如何表示小鸭走到了哪里？

生：小鸭从0点出发向右走了5格。

师：这位同学的回答包含了两条信息：一是向右，二是5格。

生：如果只有方向没有距离，不能确定小鸭的位置；如果只有距离而没有方向，也不能确定小鸭的位置。

师：小鸭不满足于在一条线上行走，（随机板书：线）世界这么大——

生：我想去看看。

老师接着出示

师：怎样表示小鸭现在的位置呢？

生1：小鸭在第一格的上面。

生2：需要知道小鸭与横线的距离。

生3：再加一条竖着的标注距离的线，就可以准确描述小鸭的位置了。

老师让学生根据讨论的想法，画出需要的元素，学生统一到下图：

师：那么这个点和哪两条线有关系？

学生上黑板比画如下：

师：那我们可以看到小鸭现在的位置分明就是两条线的交点，即——

生：第1列第2行。

师：小鸭又游到了B和C的位置，如下图，怎么表示？

生1：第2列第1行。

生2：第4列第3行。

师：画面上这样的点还有很多吧？为了研究的方便，老师把网格画全，那么左下角这个点是否可以优化一下？

生：把两个0写成一个0就好。

师：数学家在研究描述位置的时候，从未停止过脚步，而且数学是人类共同的语言，我们这样的描述既不简单，也不容易推广，你们觉得可以怎样描述更好一些？

生1：列2行1。

生2：因为有中文，不好。

生3：1∕2。

生4：也不好，容易和分数混淆。

生5：2| 1—。

生6：虽然好理解，但“|”和“—”容易和罗马数字混淆，也不太美观。

生7：1，2。

生8：既简洁，又容易理解，只是1和2应该是一个整体，如果加一个括号就更好了。

【赏析】确定物体的位置，在生活中是结合方位词来描述的，常用的方位词有：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北、上、中、下、前、后、左、右、里、外。如果表述座位或者队列中的位置，常用的方位词是：第几排第几个。因此，周老师在教学起始之际，让学生用方向和距离描述直线上的行走路径，前述方位词足够满足定位需要。但是，小鸭要去看世界，不在同一条线上游走了，那仅用方位词就不够了，这就需要创造新的数学方法。

回顾片段一的教学，要表示出物体的动态或者说运动中的位置，显然学生曾经的所学无法满足需求。周老师也正是以此为任务，逼迫着学生将横线上的思考“立”起来，构成两个维度上的方向及距离。这样，学生在平衡之处失衡，同时重新寻找平衡，即同化与顺应同时发生，直角坐标系这个本属于未来的知识，被学生表征了出来。

同时，老师让学生用自己的方式表达坐标系中的点，学生在创造符号的过程中，感悟了数学之所以深刻，是因为其任何一次扩张，都是一种思维的提升，其每一个规定，都是出于准确性的需要。这样在否定肯定各种数对的表达中，学生明显能感受到自己智力在拓开，那么创新这种品质因为有了经验的积累，便积淀成了素养，化作学生的下意识。

【片段二】数对有什么用？

师：你能设计四只小鸭排成一个花样游泳的图案吗？用数对表示它们的位置。

生：（1，4）、（3，4）、（1，2）、（3，2），它们排成了一个正方形。

师：先横着看，再竖着看，发现了什么规律？

生：横着看，竖着看，每两只小鸭相隔的距离都相等。

师：我们来消化一下这位同学的发现，能用数对间的关系来解释你的发现吗？

生：（1，4）、（3，4）这两只小鸭在同一行上，3-1=2格，同样（1，2）、（3，2）这两只小鸭在同一行上，还是3-1=2格；而（1，4）、（1，2）这两只小鸭在同一列上，4-2=2格，同样（3，4）、（3，2），这两只小鸭在同一列上，还是4-2=2格。

师：河面上还剩下2只小鸭，小白鸭说“我来做原点”，小黄鸭在哪里？

生：（1，1）。

师：小黄鸭再动一动，游到了哪里？如下图：

生：（2.5，2.5）。

师：哪里来的2.5？

生：再画两条线就好了。（上台在PPT上描述这两条线相交于小黄鸭。）

师：是呀，不是所有的数字都会明明白白地写出来，我们还可以在脑海里想象出没有画出的知识。

师：小黄鸭再动一动，游到了哪里？

生：（1，1）。

师：两只小鸭玩累了，竟睡着了，轴也漂走了（如下图），当小白鸭醒来睁开眼一看，发生了什么？

生：小白鸭的位置由（0，0）变成了（1，1），小黄鸭的位置由之前的（1，1）变成了（2，2）。

师：看来位置由谁决定？

生：轴。

师：轴由谁决定？

生：原点。原点动了，轴也就动了。

师：小黄鸭说“我再动一下”，如下图，到哪儿了？

生：（-2，2）。

【赏析】有了纵横两个维度，点和数对就一一对应了起来，有了数对，我们就可以研究物体的位置规律了。在片段二的教学中，周老师先是通过学生自行设计小鸭花样游泳成正方形，来感受为什么要建立点与数对的关系。正如张奠宙先生所言：“为什么要建立数对和格点之间的对应关系呢？是为了今后建立坐标系，为了研究曲线和方程。当然，小学里不可能也不必要说清楚建立坐标系的真正意义，但举几个容易体现坐标价值的示例还是不难做到的。”[2]所以老师在课堂中引导学生分析“每两只小鸭相隔的距离为什么都相等”。当然，如果再往前走一步，让学生感受（1，2）、（1，4）构成的边向右平移两格便是（3，2）、（3，4），（1，2）、（3，2）构成的边向上平移两格便是（1，4）、（3，4），学生会感悟并积累对形的分析可以借助数的运算，数的运算也可以由形的直观支撑。

事实上，用数来描述几何图形，其目的正是为了数形结合，学生看到了根据数对的某种特性，在几何学上就可以表现出许多不同的直线。所以不乏名师们会设计（x，3）、（3，x）、（x，x）、（x，y）之类的变式辨析，就是同一个道理。

尤其值得再提及的是，周老师没有让学生的数学眼光局限于第一象限，轴漂走了小黄鸭游到了轴外的设计，既让学生体悟到了位置的相对性，又让学生经历了整数对无法确定位置的失衡，从而将思维打开，负数就满足重新建立平衡的需要，尽管这些知识是中学的，但学生已然明了为什么象限需要补充。不乏老师喜欢教学生用未来的知识解决当下的问题，可谓拔苗助长；但是周老师却引导学生用眼前的知识解决了未来的问题，学生的智力边疆得以拓宽，思维品质得以加厚，这样才算真正把学生当作学习的主体，才算学习深度发生。

总之，纵观上述两个片段的教学，周老师引领学生从线上点的位置确定，迁移到用有序的整数数对、负数数对，确定面上的点的位置，感悟着代数数对对形的抽象；而且注重引导学生关注起始点、标注两個方向的刻度、定数对的顺序，并据此渗透其几何与图形教学的价值，这正是有效教学要实现的过程性目标。同时，将点动起来，将数对代数化、关系化，又为今后学习变量、运动类的数学播下了种子。因为学生对数对的表征，已与未来的平面直角坐标系相吻合，这种高于生活的几何学表示，正是笛卡尔当年提出的解析几何的思想内涵。

（作者单位：江苏省南京师范大学苏州实验学校）

参考文献

[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2012：97.

[2]张奠宙，巩子坤等.小学数学教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018：225.