探究教材习题，感悟数学本质

郑日锋

[摘 要] 从一道教材习题出发，站在研究问题的高度，通过问题变式与拓展，引导学生探究，让学生体验问题研究的过程，感悟数学本质.

[关键词] 复习课教学；教材习题；数学本质

复习课教学的根本任务是促进知识条理化、系统化，进而提高学生分析问题与解决问题的能力，形成良好的认知结构. 而传统的复习课中，教师往往进行“就题论题”教学，题目之间缺乏联系，对某种方法重复操练，很多时候“见木不见林”，对学生能力提升不够；长期的教师出题学生做题，扼杀了学生的提出问题能力；虽然课堂上精讲精练，学生碰到相关问题还是束手无策，感悟不到问题的本质. 如何改进传统的复习课教学，是每一位数学教师的重要课题.不久前，笔者公开教学“圆锥曲线复习课”，这节课从一道教材习题出发，通过问题的变式及拓展，引导学生探究，完成了对“三基”的复习，让学生体验了研究数学问题的过程，学生的思维能力得到了有效的提升.

[?] 教学简录

1. 学生讲解上节课问题的解题思路

解决直线与抛物线的位置关系问题常用坐标法思想、方程思想，以上是比较简便的方法，第（1）小题证法1设点，证法2设斜率，证法1简便些，有些同学将OA⊥OB转化为kOA·kOB=-1，再转化为y1y2=-4，与向量转化殊途同归. 还有很多同学是通过消y的方法解决，显得比较烦琐，如果换成开口向上或向下的抛物线，选择消去y的方法比较简便.

2. 探寻条件不变下的其他结论

教师：科代表既介绍了同学们的各种解法，也对各种解法的特点作了点评，非常全面而到位.此问题说明OA⊥OB与直线l恒过定点M（2，0）是等价的.现在我给大家提出下列问题.

的最小值；②求S△OAB的最小值；③求AB的中点M的轨迹方程；④过O作OH⊥AB于H，求H的轨迹方程.

教师：爱因斯坦说：“提出问题比解决问题更重要.”同学们不但会做题而且会编题，下面从同学们编拟的题目中挑选第②，③题，想一想大致思路.

学生1：第②小题我的做法是：（建立目标函数法）由OA⊥OB得直线l恒过定点M（2，0），且y1y2=-4. 所以S△OAB=·2·

教师：学生1和学生2都能灵活运用所学知识解决问题，而且能根据问题的特征选择适当的方法解决问题.

3. 探寻得到结论的其他条件

问题2：能否将OA⊥OB换成其他条件，也得到直线l恒过定点M（2，0）？

教师：学生10具有敏锐的洞察能力和较强的概括能力，说明抛物线的结论在特殊情况下对椭圆并不成立，需要附加条件. 请思考：上述（1）（2）的结论有怎样的联系？

学生11：（2）的结论可以看作是定点在y轴上的无穷远处.

教师：学生11利用极限思想找到看似不同的结论的联系. 太棒了！

教师：这节课我们从课本的一道习题出发，经过联想，纵向提出问题；经过类比，横向提出问题，所有这些问题不外乎定点问题与定值问题，解决这两类问题的总体策略都是坐标法思想与方程思想，具体地说有两种方法，一是设点参数，体现了设而不求思想；二是设线参数（斜率或斜率的倒数）. 真所谓万变不离其宗！

请同学们完成本节课未解决的问题，并思考：你能否将问题2得到的结论推广到一般情况？类比到椭圆、双曲线又能得到怎样的结论？

[?] 教学启示

教材是众多专家集体智慧的结晶，经过长期的使用、修改而不断完善，日臻成熟. 本节课把一道教材习题的改编作为原问题，唤起学生对基础知识、基本方法的回忆，然后循着原问题，引导学生提出问题、分析问题、解决问题，始终以学生为本，贴近学生思维的最近发展区，时而学生提出问题，时而教师提出问题，最大限度地调动了学生探究学习的热情.

驱动学生积极思考，经历观察、试验、类比、概括、推理等一系列的过程，从感性到理性，从简单到复杂，从具体到抽象，从错误到正确，生生之间、师生之间的思维不断地碰撞. 学生敢于联想、敢于质疑，并能提出自己的问题，这是学生学会学习、学会探究的关键和根本. 苏霍姆林斯基曾说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者. 而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈.”

在这些不断变化的问题中，会让学生站得更高，看得更远，让学生顿悟贯穿其中的数学思想方法，感悟数学的本质. 一个数学问题是如何演变的，一个数学结论是如何得到的，如何提出猜想，又如何否定猜想、修正猜想、证明猜想，问题与问题之间是有机联系的，问题是变化的而解决問题的方法、策略却是不变的，随着问题的变化，方法、策略又需要调整. 这节课学生体验了研究数学问题的过程，也锻炼了意志品质，提升了数学核心素养，收获了知识，更收获了方法、思想，还为今后更高层次的创新奠定了基础.endprint