一道三角题引发的研究性学习

李雪梅+任礼铭+赵思林

[摘 要] 四川省泸州市高2017级第二次高考模拟考试（数学）第18题是一道三角题，该题能够激活学生数学思维，具有数学探究价值. 这个问题的研究性学习，可以从试题的简评、立意分析、思路与解法探究、问题的推广、教学启示等角度进行.

[关键词] 三角；研究性学习；推广

四川省泸州市高2017级第二次高考模拟考试（数学）第18题（以下简称泸州二模题）是一道三角题，该题能够激活数学发散思维和创新思维，具有一定探究价值，是一道具有研究性学习的好问题. 本文拟从试题的简评、立意分析、思路与解法探究、问题的推广、解题后的回顾与教学启示等方面作一番研究.

[?] 试题呈现与简评

泸州二模题：如图1，在△ABC中，AB=2AC，cosB=，点D在线段BC上.

（1）当BD=AD时，求的值；

（2）若AD是∠A的平分线，BC=，求△ADC的面积.

简评：此题立意鲜明，思路宽解法多，极富思维价值，具有一定的探究价值.考试结果显示，第（1）问大多数学生可以顺利完成，得分情况较为满意.对于第（2）问，由于题目给出的几个条件不在同一个三角形中，即所给条件比较分散，很多学生缺乏将已知条件尽量集中或转化到一个三角形中的解题策略，加之许多学生对条件“AD是∠A的平分线”的处理缺乏经验（原因之一是角平分线的性质定理在初中平面几何中早已不作要求），因而使求解思路混乱而难以下手，有不少考生甚至放弃此问. 由于考生在本题的耗时比较多且得分率也不太满意，这说明本题是教学研究的好素材，教师应抓住时机，分析原因，引导学生对此题开展研究性学习.

[?] 试题的立意分析

立意是试题的考查目的.下面从考查数学基础知识、思想方法和能力素养等方面分析该题的立意.

1. 考查数学基础知识

本题属于解三角形的综合问题，考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、角平分线等基础知识.

2. 考查数学思想方法

本题考查了数形结合、化归与转化、分类讨论、方程等数学思想. 本题一般用三角法解答，此外，还可运用平面几何法、解析法、向量法等方法求解.

3. 考查数学能力素养

该题考查了学生的思维能力、运算能力、问题推广意识.数学能力素养的核心是思维. 本题对思维能力进行了全面考查，通过对解题思路的分析，对解题方法的尝试与选择可测试考生的直觉思维能力；通过对三角形边长的计算、三角形面积的计算等可测试考生的运算能力、逻辑思维能力.

[?] 思路与解法探究

思维心理学认为，发散思维是创造性思维的核心. 本题具有思路宽阔、解法灵活多样等特点. 本题可以从多种不同角度进行分析与探究，可以得到多种解法.

1. 第（1）问的思路与解法探究

（1）思路一：三角法

欲求的值，自然联想到正弦定理和余弦定理，因此应想办法将已知条件尽可能地集中到同一个三角形中.

评注：运用解析法求面积的关键在于正确表示出各点的坐标，再根据坐标写出直线的方程，并利用点到直线的距离公式求出高，进而可求出三角形的面积.

[?] 问题的推广

着眼于培养学生的问题意识、研究意识和创新精神，可着手于问题的拓展与推广. 问题的推广是指对问题进行引申、加强与一般化等. 推广是培养创新意识、实践能力的基本途徑，对试题的推广，有利于促进学生认知的深化，开拓思维的视野，并能培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

推广1：题干和第（1）题保持不变，将第（2）题的“AD是∠A的平分线”改为“AD是∠A的中线”，BC=，求△ADC的面积.

推广1将AD是∠A的平分线变为∠A的中线，从而等量关系变为BD=DC，即DC=BC，再按照上面的思路方法即可求出△ADC的面积.

推广2：题干和第（1）题保持不变，若将第（2）题的“AD是∠A的平分线”改为“AD是∠A的高”，BC=，求△ADC的面积.

推广3：将题干保持不变，若将第（1）问的“BD=AD”改为“BD=λAD”，那么此时又该怎样求解呢？

推广4：将题干中的条件“AB=2AC”改为“AB=λAC”，其余条件和问题都保持不变.

[?] 解题后的回顾与教学启示

上面的思路探究与解法运用了数形结合、化归与转化、分类讨论、方程等重要数学思想，并运用了三角法、平面几何法、解析法、向量法等数学基本方法，有效训练了数学思维的灵活性、发散性、广阔性和创造性.

此题对教学的启示是多方面的：

（1）高三试卷评讲课，应重视对一些得分较低的题目的研究，特别是应对那些富含思维价值和探究价值的题目安排一定时间进行重点研究.

（2）应重视数学思想方法的教与学，要让数学解题过程充满数学思想的阳光.

（3）数学解题教学要突出“解题策略”的训练，包括多角度地联想，大胆地尝试（包括添加辅助线，构造辅助函数，建立坐标系等），直觉地预估（估算）等.

（4）数学解题教学应重视一般解题规律的总结.对于本题，可以提出如下问题：为什么一个题目既能用正弦定理，又能用余弦定理，还能用勾股定理和直角三角形中的锐角三角函数来求解？为什么本题能用向量法解答？可以让学生知道：正弦定理与余弦定理等价，用勾股定理和直角三角形中的锐角三角函数可以推出（即证明）余弦定理，用向量法可以推出（即证明）余弦定理和正弦定理.这是本题能用多种方法解答的数学内在逻辑.

通过对这个二模三角题“一题多解”式的研究性学习，即对问题进行思路分析、求解、推广等探究活动，很多学生对解三角形问题有了比较系统深入的认识. 因此，这道解三角形题目是进行研究性学习的好素材.endprint