以“形”助“数”，突破函数零点问题

李园园

[摘 要] 借助于函数图像来解决函数零点问题是数形结合思想的重要运用，本文通过对一道高考模拟题的深入思考，从变式训练和反向思考中感受数形结合的思想，以“形”助“数”，突破函数零点问题.

[关键词] 数形结合；以“形”助“数”；零点问题

数形结合思想是高中数学中的重要思想，运用这种思想可以解决许多问题.在解决函数零点问题的过程中，通过运用数形结合的思想，做到以“形”助“数”，使得代数问题几何化，避免了复杂的计算，快速解决问题的同时还锻炼了数学思维.

[?] 母题呈现及思路剖析

思路剖析：

[?] 反向思考以发散思维

母题中是将两个函数交点坐标的问题转化为新构造函数的零点问题，但是对于某些问题，直接分析函数的零点个数并不可行. 通过发散思维，问题需要进行转化，将求一个函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，根据数形结合思想，分别作出两个函数的图像，从图像中直观地得出两个函数的交点个数.

[?] 反思归纳

第一，以“形”助“数”，数形结合

数形结合思想是高中数学中的重要思想，其本质是抽象的数学语言与具体化的图形之间的相似转化. 对于平面解析几何中的零点个数问题，一直都是高考中的热点问题，而大部分学生对这类知识的掌握情况并不是非常理想.究其原因，就是不能合理运用数形结合的思想，通过数形结合，可以将抽象的问题具体化，通过直观的图像就可以观察出交点的个数. 例如本文中的三道题，如果想要通过方程思想直接求出交点的坐标，通过高中数学的知识有极大的困难，而通过画出函数的图像，借助于函数图像来辅助解题，可以直观地看出交点的个数.

第二，转化问题，事半功倍

数学问题的解决离不开转化思想，对于大部分数学问题，如果不知变通而直接求解，一般都无法解决问题.通过转化思想，不但可以解决原来难以解决的问题，还能节省宝贵的时间，达到事半功倍的效果. 例如在母题呈现及思路剖析中，由于两个函数的交点无法直接判断，通过转化思想，将两个函数的交点问题转化为函数的零点问题；而在巩固提高中，将求方程-1的零点个数，许多学生想要画出该函数的图像，然后找到图像与x轴的交点个数. 事与愿违的是，这个函数的图像通过高中数学的知識并不能得出，许多学生跳不出求零点个数的思维定式，无法解决问题. 如果通过反向思考，将问题转化为求两个函数交点的个数，此题将会迎刃而解.endprint