一种任意多边形面积的计算公式

陈小亮+黄开志

[摘 要] 将任意n边形分解为n-2个三角形的组合，推导得到了任意平面n边形面积的一种行列式形式统一计算公式.

[关键词] 多边形；面积；矢量

[?] 引言

吴进权和张达通过研究平面多点的位置关系得到了凸多边形的一个面积公式. 李伙穆等人通过将多边形的“边”拆开，以“边”为单元，将“边”的两端点与坐标原点设想连接，由“线”、“点”的数据转化为“面”的数据，采用初等数学方法证明出一个不规则多边形面積的计算公式. 罗志强和钟尔杰由推广的Green公式建立起重积分与曲线积分的关系，并用不同思路推导出任意多边形的面积计算公式，公式在求解任意复杂的多边形的面积时与原点位置无关. 宋淮林给出了求解任意多边形面积的一种方法及在计算机上应用的实例. 本文通过将任意n边形分解为n-2个三角形的组合，推导得到了任意平面n边形面积的一种行列式形式统一计算公式.

[?] 任意多边形的面积公式

1. 定理

从上面的证明可以看出，公式（2）和（8）所表示的△A1Ai+1Ai+2面积Si可正可负也可为零，但是在平面右手直角坐标系中，只要任意n边形的n个顶点A1，A2，…，An严格按照逆时针顺序依次排列，那么公式（1）和（7）所表示的多边形面积S恒为正，这两个公式对任意凸和凹多边形面积均适用.endprint