空间角求解中的多种思维方法

江苏省启东中学 陈高峰

空间角求解中的多种思维方法

江苏省启东中学 陈高峰

异面直线所成角、线面角、二面角的大小是高考必考的热点问题,求解的关键是根据不同题设的几何背景选择恰当的方法,常常用传统的几何法或向量法求解。对于某些空间角的问题多角度探究可产生不同的思维方法求解。

一、异面直线所成的角求解中的多种思维方法

例1 (2 0 1 7年全国Ⅰ卷理1 0)已知直三棱 柱 A B C-A1B1C1中,∠A B C=1 2 0°,A B=2,B C=C C1=1,则异面直线A B1与B C1所成角的余弦值为( )。

解法1:(平移法)注意直三棱柱的特殊性,取特殊的三个中点构造三角形,借助三角形的中位线平行移动找异面直线所成的角。如图1,M,N,P分别为A B,B B1,B1C1的中点,则A B1,B C1所成角为MN和NP的夹角或其补角。

图1

由已知条件可知MN=

图3

解法4:(坐标向量法)如图3所示,以垂直于B C的方向为x轴,B C所在直线为y轴,B B1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B1(0,0,1),A(,-1,0),=(0,1,1),=(-,1),所以异面直线Α Β1与Β C1所成=。故选C。

反思:传统的几何法求异面直线所成的角,一般依据定义,通过“直接平移或补形平移”得到两条直线的夹角或夹角的补角,构造三角形计算大小,强化逻辑推理与空间想象能力;向量法求异面直线所成的角,借助“两异面直线对应的方向向量的夹角”进行求解,凸显空间问题代数化的本质属性。不论用何种方法,切记异面直线所成角的取值范围是]。

二、直线与平面所成的角求解中的多种思维方法

图4

例2 (2 0 1 7年上海高考题改编)如图4,直三棱柱A B CA1B1C1中,∠A B C=9 0°,B B1=5,A B=4,B C=2。

(1)求三棱柱A B C-A1B1C1的体积;

(2)若M是A C的中点,求B1M与平面A B C所成角的余弦值。

图5

(2)解法1:(几何法)如图5,连接BM,直三棱柱A B CA1B1C1中,因为A B=4,B C=2,∠A B C=9 0°,所 以 A C==2。

又M是A C的中点,所以BM=5。由直三棱柱A B C-A1B1C1可知B B1⊥面A B C,则B M为斜线B1M在面A B C上的射影,即∠B M B1为B1M与平面A B C所成角。

解法2:(向量法)以B为原点,B A为O x正方向,B C为O y正方向,B B1为O z正方向,建立空间直角坐标系O-x y z,则B(0,0,0),B1(0,0,5),A(4,0,0),C(0,2,0)。

反思:本题采用几何法计算比较好,准确度高,计算量少,这是由底面为直角三角形的直三棱柱易找到斜线在底面上的射影决定的;向量法求解线面角,利用公式得到的角是法向量与斜线A B的夹角,并不是斜线A B和平面成的角,此时斜线与平面成角为9 0°-θ,或s i nθ=。|

三、二面角求解中的多种思维方法

图6

例3 (2 0 1 7年高考全国Ⅰ卷理)如图6,在四棱锥P-A B C D中,A B∥C D,且∠B A P=∠C D P=9 0°。

(1)证明:平面P A B⊥平面P A D;

(2)若P A=P D=A B=D C,∠A P D=9 0°,求二面角A-P B-C的余弦值。

解析:(1)由已知∠B A P=∠C D P=9 0°,得A B⊥A P,C D⊥P D。由于A B∥C D,故A B⊥P D,从而A B⊥平面P A D。又A B⊂平面P A B,所以平面P A B⊥平面P A D。

(2)解法1:(几何法)不妨设P A=P D=A B=D C=1,由题设易得P B=B C=A D=P C=。

如图7,取P B的中点O,连接A O,C O,则A O⊥P B,C O⊥P B,所以∠A O C即为所求二面角的平面角。

图7

解法2:(向量法)由(1)知,A B⊥平面P A D,取O,E分别为A D,B C的中点,由条件可知底面为矩形A B C D。

连接O E,所以O E⊥平面P A D。又P O,A D⊂平面P A D,所以O E⊥P O,O E⊥A D。又因为P A=P D,所以P O⊥A D。所以P O,O E,A D两两垂直,以O为坐标原点,建立如图8所示的空间直角坐标系O-x y z。

图8

令y=1,则z=2,x=0,可得平面P B C的一个法向量n=(0 ,1)。

因为∠A P D=9 0°,所以P D⊥P A。

又知A B⊥平面P A D,P D⊂平面P A D,所以P D⊥A B。又P A∩A B=A,所以P D⊥平面P A B,即是平面P A B的一个法向量=(-,0,-)。

解法3:(几何法)不妨设P A=P D=A B=D C=1,易得P B=B C=A D=P C=2。

取P B的中点为O,连接A O,则A O⊥P B。

设A在平面P B C内投影为H,连接AH,OH,则∠A OH的补角即为所求二面角的平面角。

反思:传统的几何法求二面角的关键是依据题设的特殊性,合理选择棱上的特殊点,即一个平面垂直于二面角α-l-β的棱l,且与两半平面的交线分别为O A,O B,O为垂足,则∠A O B就是二面角α-l-β的平面角,常常要经过“作—证—算”三个步骤;向量法求二面角先求两平面的法向量的夹角,设m,n分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与〈m,n〉互补或相等,故有|c o sθ|=|c o s〈m,n〉|=。遇到二面角的余弦值正负号的取舍,一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

(责任编辑 王福华)