剖析立体几何方面的考查动向及易错点

河南省实验中学 李天佑

剖析立体几何方面的考查动向及易错点

河南省实验中学 李天佑

一、高考预测

在高考试题中,立体几何的试题一般是两小一大,大约2 2分。立体几何的热点是三视图,近两年课改地区的高考试题中,都出现三视图的试题,应引起重视。立体几何考查的重点仍然是空间的平行关系、垂直关系、三视图、空间角、距离的计算以及简单几何体的体积与表面积,题型涵盖选择、填空和解答题,证明空间线面、线线、面面平行与垂直,是必考题型,解题时要由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证明思路。角和距离问题,可以用空间向量来解决,应加强训练。与几何体的侧面积和体积有关的计算问题,根据基本概念和公式来计算,要重视方程思想和割补法、等积转换法的运用。平面图形的翻折与空间图形的展开问题,要对照翻折(或展开)前后两个图形,分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了,哪些没有改变。随着空间向量的引入,开辟了解证立体几何问题的新途径,进而大大降低了立体几何解答题的证明、作图与运算的难度。可以说,这使多少年来高中生感到立体几何难学或害怕立体几何的局面得到了很大的改变。

二、知识导学

1.异面直线。

(1)异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点。强调任何一个平面。

(2)异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面直线平行的直线所成的锐角(或直角)。一般通过平移后转化到三角形中求角,注意角的范围。

(3)异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交。

(4)异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度。求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线。

(5)异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定法。

2.直线与平面。

(1)求斜线与平面所成的角关键在于找射影,斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。

(2)在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用。

(3)在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用,同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用。

(4)求直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离来求。如果在平面的同一侧有两点到平面的距离(大于0)相等,则经过这两点的直线与这个平面平行。要注意“同一侧”、“距离相等”。

3.平面与平面。

(1)两个平面的位置关系的判定关键看有没有公共点。

(2)面面平行也是推导线面平行的重要手段。还要注意平行与垂直的相互联系,如:如果两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;如果两条直线都垂直于一个平面,则这两条直线平行等。在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用。

(3)对于命题“三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线互相平行或者相交于同一点”要会证明。

(4)在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用。

(5)注意二面角的范围是[0,π],找二面角的平面角时要注意与棱垂直的直线,这往往是找二面角的平面角的关键所在。求二面角的大小还可利用公式c o sθ=,用的时候要进行交代。在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小,方法一是补充棱;方法二是利用“如果α∩β=l,且α⊥γ,β⊥γ,则l⊥γ”;方法三是利用公式c o sθ=等,在解三角形求二面角时注意垂直(直角)、数据在不同的面上转换。

4.空间角与距离。

(1)求空间角的大小时,一般将其转化为平面上的角来求,具体地将其转化为某三角形的一个内角。

(2)求二面角大小时,关键是找二面角的平面角,可充分利用定义法或垂面法等。

(3)空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离。求点到平面距离时,可先找出点在平面内的射影,可用两个平面垂直的性质,也可用等体积转换法求之。另外要注意垂直的作用。球心到截面圆心的距离由勾股定理得d=。

(4)球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长,求解关键在于画出经过两点的大圆及小圆。

(5)要注意距离和角在空间求值中的相互作用,以及在求面积和体积中的作用。

5.三视图。

(1)三视图间基本投影关系的三条规律:主视图与俯视图长对正,主视图与左视图高平齐,俯视图与左视图宽相等,概括为“长对正,高平齐,宽相等”。看不见的画虚线。

(2)主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右;俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右;左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前。

三、易错点点睛

例1 如果异面直线a、b所成的角为5 0°,P为空间一定点,则过点P与a、b所成的角都是3 0°的直线有( )。

A.一条 B.二条 C.三条 D.四条

图1

解析:如图1,过点P分别作a、b的平行线a′、b′,则a′、b′所成的角也为5 0°,即过点P与a′、b′成相等的角的直线必与异面直线a、b成相等的角,由于过点P的直线l与a′、b′成相等的角,故这样的直线l在a′、b′确定的平面的射影在其角平分线上,则此时必有c o s∠A P B=c o s∠A P O×c o s∠O P B,当c o s∠A P O=时,有 c o s∠A P O=∈(0,1),此时这样的直线存在且有两条;当 ∠ B P C=1 3 0°时,有 c o s∠A P O=＞1,这样的直线不存在,故选B。

【易错点点睛】判断过空间一点与两异面直线成相等角的直线的条数,解决异面直线所成角的问题关键是定义,基本思想是平移对本题来说,将两异面直线平移到空间一点时,一方面,考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意;另一方面,要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数,此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角θ与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角α的关系,由公式c o sθ=c o sαc o sβ(其中β是直线与平面所成的角)易知c o sθ＜c o sα⇒θ＞α,c o sθ＜c o sβ⇒θ＞β(最小角定理)。一般地,若异面直线a、b所成的角为θ,l与a、b所成的角均为φ,据上式有如下结论:当0＜φ＜时,这样的直线不存在;当φ=时,这样的直线只有一条;当＜φ＜时,这样的直线有两条;当φ=时这样的直线有三条;当＜φ＜时,这样的直线有四条。

例2 已知某个几何体的三视图如图2所示,则这个几何体的体积是____。

解析:如图3所示,作出几何体S-A B C D且知平面S C D⊥平面A B C D,四边形A B C D为正方形,作S E⊥C D于点E,得S E⊥面A B C D且S E=2 0。所以VS-ABCD=S·S E=,故这▱ABCD个几何体的体积是。

图2

图3

【易错点点睛】注意避免对三视图识图不准,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线。在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑。

例3 已知m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面。给出下列命题:

①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α,或n⊥β;

②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n;

③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;

④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α,且n∥β。

其中正确命题的序号是____。

图4

解析:①错误。如图4,在正方体中,面 A B B′A′⊥ 面A DD′A′,交线为 A A′。直线A C⊥A A′,但A C不垂直面A B B′A′,同时A C也不垂直面A DD′A′。

②正确。实质上是两平面平行的性质定理。

③错误。在上面的正方体中,A′C不垂直于平面A′B′C′D′,但与B′D′垂直。这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线。

④正确。利用线面平行的判定定理即可。

故填:②④。

【易错点点睛】有些同学对线面关系定理理解不准,定理、性质、记忆不准确,错用、乱用。防范失误的措施:一是对错误的要逐个寻找反例给出否定,对正确的要逐个进行逻辑证明;二是结合模型作出判断,但要注意定理应用准确,考虑周全。判定直线与平面平行的主要依据是判定定理,它是通过线线平行来判定线面平行,这里所指的直线是指平面外的一条直线平行于平面内的一条直线,在应用该定理证线面平行时,这三个条件缺一不可。

图5

例4 如图5,已知正三棱锥P-A B C的体积为7 2 3,侧面与底面所成的二面角的大小为6 0°。

(1)证明P A⊥B C;

(2)求底面中心O到侧面的距离。

解析:(1)如图6,取B C边的中点D,连接A D、P D,由三棱锥P-A B C为正三棱锥,可得A D⊥B C,P D⊥B C,故B C⊥平面A P D,所以P A⊥B C。

图6

(2)由(1)可知平面P B C⊥平面A P D,则∠P DA是侧面与底面所成二面角的平面角。过点O作O E⊥P D,E为垂足,则O E就是点O到侧面的距离。设O E为h,由题意可知点O在A D上,所以∠P D O=6 0°,O P=2h。因为O D=,所以B C=4h,所以S△ABC=(4h)2=4 3h2。因为7 2 3=·4 3h2·2h=h2,所以h=3,即底面中心O到侧面的距离为3。

【易错点点睛】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线,确定垂足,转化为解三角形求边长,或者利用空间向量表示点到平面的垂线段,设法求出该向量,转化为计算向量的模,也可借助体积公式利用等积求高。

(责任编辑 刘钟华)