“ka+b型最小值”问题的探究与思考

钱德春 范建兵

(江苏省泰州市教育局教研室225300) (江苏省苏州市学府中学215008)

1 从“胡不归”故事谈起[1]

一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后，日夜兼程回家.当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？……”

这则古老的传说用图形表示为：如图1，A是出发地，B是目的地，MN是一条驿道，在驿道的目的地B一侧全是砂土地带.为了急切回家，小伙子选择了直达路程AB.由于两点之间线段最短，小伙子的选择有一定道理.但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线(尽管这条路线长一些，但是到家的时间可以短些)，是可以提前抵达家门的.那么，小伙子应该走怎样的一条路线呢？

图1

2 “ka+b最小值型”问题探究

2.1 一个特殊的案例

图2

2.2 回到“胡不归”问题

再回到“胡不归”问题.借助于构造直角三角形，将问题转化为求两条线段和的最小值问题.例1为“胡不归”问题解决明确了方向，提供了可借鉴的思路，即将ka+b中的ka用一条与b有公共端点的线段表示，构造直角三角形，使以公共端点为顶点的锐角正弦值等于k.

图3

图4

2.3 “ka+b最小值型”问题再探

在“ka+b最小值型”模型中，k、a、b的取值有什么限制？问题如何量化求解？可否一般化呢？

2.3.1 对ka+b中的k、a、b值条件的探讨

2.3.2 “胡不归”问题的量化求解

2.3.3ka+b最小值型问题的推广

3 思考与启示

章建跃先生提倡数学教学要“取势、明道、优术”，这说明了数学教学与研究的三个层次.“取势”是对数学的哲学理解，即顺势而为、谋势而动，“回归数学教育的本来面目，发挥数学的内在力量，挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力”[2]，这是数学教学研究的宏观境界；“道”是数学的一般规律、方法和思想，“明道”即数学教师要遵循“数学的道”，懂得数学教学与研究的“基本套路”，遵循数学内在规律开展教学研究活动；“术”是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体，“优术”即提升教与学的“方法、技艺水平，积累实用的策略，总结经验并从中发现规律(经验之中有规律)等等”.

经历“ka+b型最小值”问题的探究过程，笔者感受到：作为数学教学的重要组成部分，数学解题也具有三种境界.一是解决数学问题策略应该在于回归数学本质与数学内涵；二是只有“明”数学之“道”才能“优”解题之“术”；三是通过解题反思，方能掌握知识的来龙去脉与发展趋势，将不稳定的、个体的、感性的解题活动经验内化为稳定的、普遍的、理性的数学认知、能力与情怀.

3.1 回归本质，简中明“道”

数学本质是什么？张奠宙教授认为：数学本质就是数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼和数学理性精神的体现.[3]从解题角度来说，回归本质，就是解题思路要回归数学概念、回归基本原理、回归通性通法，在简明、本真之中悟数学之“道”，以不变应万变.“教师若能经常启发、引导学生在解题之后去再思考一下这类数学问题的基本解题规律是什么？则不仅有利于学生对基本技能的掌握和运用，而且有利于学生归纳思维能力的训练和培养.”[4]

图5

数学问题可能会以不同形式和面目出现，但解决问题的思维过程遵循一定的规律与路径，即抽象为数学问题并加以解决.以此构建数学知识，体现数学思维和数学思想.如“胡不归”问题与“ka+b型值最小”等几何问题，其基本方法多通过平移、旋转、翻折等手段，转化为“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”两个基本模型(基本事实)解决，这个过程渗透了转化、变换、从特殊到一般、模型等数学思想(如图5)，充分彰显了解题的教学价值，这正是数学教学应有之“道”.

“回归本质”必须遵循两个原则.一是相对性原则.“回归”是相对的，解法的回归并非完全回到原始的概念与公理.欧氏几何是由Euclid“概括出14个基本命题，其中5个公设和9条公理……，运用演绎的方法将当时所知几何学知识全部推导出来”[5]而成的一个逻辑系统.但这个系统中的定理推导并非都要回到定义、公设与公理，更多是由新定义、公理和已经演绎出来的定理作为依据；而经过证明的命题又可以作为证明其他几何命题时的依据.如本文中解决“胡不归”问题的依据是“点到直线垂线段最短”，而这个结论是由“两点之间线段最短”推导而来.我们无需要再去证明为什么“点到直线垂线段最短”，或将问题转化为“两点之间线段最短”，即没有完全回到源头公理.二是个性化原则.解题教学要鼓励学生基于通性通法的个性化思考.如小学数学中整数的乘法，最基本、适用范围最广的方法是竖式乘法.学生掌握了这种基本方法后，可以根据算式的具体情况和个体的经验得出不同的简便运算方法，即所谓“既要通性通法，也要特事特办”，正如陆正海所说，“数学的发展就是在一步步提高通性通法的层次，拓展通性通法的适用范围和领域，直至发明新的通法，强调能力立意，要能为不同思维层次的学生提供施展的平台”[6].

3.2 深度辨析，思中取“势”

解题是数学知识、策略、方法和学习心理、思维品质的综合体现，如果教学仅仅止于“解题”，那就失去了引领数学价值观、培育理性精神、发展思维能力的意义.因此，在解题教学中，还要引导学生通过解题后的深度辨析与反思，理清数学知识的来龙去脉和知识关联，使数学知识系统化、结构化，并将解题经验内化为思维能力.

3.3 顺“势”借“道”，探中优术

“术”是“明道”后转化而来的具体操作方法、技巧与技能，需要在经历、体验、操作的过程中生成.反过来，“优术”可固“道”，亦能度“势”.换言之，“数学技能与知识共同构成数学能力的基本要素，是形成数学能力的前提”[7].因此，解题教学要正确处理好“术”“道”“势”三者间的关系.

一方面，解题教学要以“术”为载体，以“明道”“取势”.如果对“ka+b值最小问题”的研究只停留在平移、旋转、翻折等操作层面，而缺乏“以道为魂”的追求，不去思考一般性策略、方法、思想和源头，那么“术”便失去灵性，数学学习效果就会大打折扣.如在“胡不归”问题的研究中，我们先提出一个现实问题，并将问题数学化，接着进行从特殊到一般的研究.有的结论尽管经过推理论证、符合逻辑.但有时由于学生缺乏真实性体验，如学生可能对“胡不归”问题一般性结论有所怀疑：这样的结论正确吗？因此有必要通过具体问题与情境加深理解与内化.如将问题具体化，赋予具体数值，让学生通过运算直观感受一般性结论的正确性.

如图6，以出发地A为原点(O)，驿道为x轴建立直角坐标系，设小伙子家的坐标为(12，5)，在驿道上走的速度是在砂土地上走的速度的2倍(不妨设砂土地上行走的速度为1).现设计3种回家方案，分别计算所用时间.方案①：从A直达B；方案②：过点B作BP1⊥x轴于点P1，沿路线AP1B到B；方案③：根据前文方法，作射线OC，使∠xOC=30°，作BH⊥OC于H，交x轴于P2，沿路线AP2B到B.通过计算得方案①、②、③的时间分别为13、11和10.3(约)，学生经历这个过程，得到了“眼见为实”的数据，从而对一般性结论得到内化.

图6

另一方面，要顺“势”借“道”，在探究中“优术”.解题教学中，必须鼓励学生在掌握通性通法的基础上，对具体问题有个性化的思考与妙招巧解.启发学生根据个体经验自主思考，形成具有个性化的解题之“术”.

(本文素材得到于新华、万广磊、崔恒刘、吴小平等老师的帮助，谨表感谢.)