架HPM与PME沟通之桥

徐章韬

(华中师范大学数学与统计学学院 430079)

1 引言

内容和学生是数学教育研究的两个重要对象．若把关注点放在学科内容上，可以展开一种数学教育学；若把关注点放在学生学习心理上，也可以展开一种数学教育学．HPM(数学史与数学教育)与PME(数学教育心理)是数学教育的两大主要研究领域．HPM是从数学或数学史的角度切入数学教育，其着眼点在于数学内容，PME是从学生或学生心理的角度切入数学教育．基于HPM或PME均可以设计很好的教学设计，并进入课堂教学实践，这些都已经为教学实践所证实．对教学设计及其课堂教学而言，没有最好，只有更好．凡方法，皆有长有短，HPM或PME亦然．现在这里的问题是，能不能架HPM与PME的沟通之桥，在相互沟通中，取长补短，使教学设计及其课堂教学更好？这里先进行一些经验性的探讨．

2 典型例子

2.1 在教学设计中的沟通

PME和HPM在教学设计中，可以很好地沟通，共同克服难点．

例1椭圆方程的推导

文[1]用历史上的和差术推导椭圆方程，课后的调查表明，学生对此方法不太适应．和差术是一种重要的方法，文[2]在信息技术的支持下，使和差术的价值得到彰显．现在，从学生已有的经验中寻找推导椭圆面积的方法．

联立(*)和(**)，椭圆方程自然得到了，和差术也得到了．

这里，PME先行，HPM随之，难点迎刃而解．

例2数学归纳法的教学设计

PME[3]认为数学归纳法的认知图式由函数图式与逻辑图式协调而成．其难点在于对Q=(p(n)→p(n+1))的认识．对命题Q而言，其是“若p，则q”的结构，其真假，不是由p(n)或p(n+1)而决定，而是由p(n)是否推得出p(n+1)来决定．换言之，即使p(n)和p(n+1)都为假，但只要p(n)是能推得出p(n+1)，那么命题Q也是正确的．举一个例子，除非太阳从西边出，黄河水才向西流．前后两个判断都是假的，但整句话却表达一个真值．因此，这里面的难点在于，首先，要会判断关于自然数n的命题的真假，最好能形成命题值函数的认知图式；其次，要把Q=(p(n)→p(n+1))这个蕴含过程压缩，使之不再是一个过程，而是一个认知、反省的对象，能形成蕴含值函数的图式．最后，还要加上一个肯定前言的假言推理过程，也是说，整个过程是从假设条件成立为前提，然后再进行推导，得到结论，并确认结论成立．

人类文明花了两千年才认识到“ 从n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立”这一步骤的重要性，这一步显然是认知上的难点．HPM和PME在这点上“英雄所见略同”．HPM采用了递归的处理法：充分利用上次的成果，把这次的结果建立在上次的成果之上，前后两次之间存在有机的逻辑关系．[4]也就是把后一步正确性归结为前一步的正确性，从而避免“除非太阳从西边出，黄河水才向西流”这样一种逻辑推理模式．

我们曾给出过基于数学史的数学归纳法的教学设计，这里借用APOS理论再重新解读此设计．APOS理论认为，数学概念的形成要经过活动(Action)、过程(Process)、对象(Object)和图式(Schema)．

文[4]的案例1和案例2通过正反两个案例，阐述引入数学归纳法的必要性．在这里是通过“计算—猜想”这种活动，初步直观感知要学习的对象的存在性．

案例3通过一个恒等式的证明，经历数学归纳法形成的过程，初步把数学归纳法当作一个对象．在“过程”阶段，通过对外显活动的辩证思考，发现这种推理模式有两大特点：一是“没完没了”，涉及到无穷，二是虽然“没完没了”，却有一个统一的模式．进而可以脱离物理操作，把物理操作中蕴含的模式，通过抽象、概括等一系列心理操作，抽象出数学归纳法的本质特征．数学归纳法历史发展过程中的重要阶段构成了设计“过程”阶段的极好素材，这正是HPM的认知历史发生原理所倡导的．正是让学生经历了这种历史相似性过程，学生才明白了数学归纳法两大步骤的可行性和合理性．

按APOS理论，“对象”阶段是对“过程”阶段的压缩，使其成为一个具体的“对象”，将数学归纳法作为一个新的“对象”来认识．也就是把数学归纳法中涉及到的递归原理的两大步骤处理一个完整的过程．应当来说，在短短的一节课中，要求学生实现从“过程”到“对象”的飞跃，是有难度的．故HPM用案例4示意性地帮助学生来完成这个过程．应当指出，要完全达到“对象”过程，必须有后续应用课跟进，故在实际的教学中，数学归纳法的教学往往需要2-3个课时才能达到教学目标．

至于“图式”则是指个体在经历活动、过程、对象以及多种情境下的训练、反思之后，围绕概念进行局部组织，使之成为认知结构中的一部分，并能当作一种“图式”工具来解决相关问题．形成图式所需要的时间更长了，图式的形成也更难了．这时，就需要教师精心编制习题训练系统，帮助学生实现认知的快速飞跃，这正是教学的效率所在．

经过PME的分析，基于数学史的教学设计的课堂教学能达到哪一步，就看得非常清楚了．故在实际的教学中，教师不仅要上好概念课、命题课，还要上好习题课，设计好训练系统，才能保证学生认知“对象”“图式”的形成，才能破解学生“听得懂课，却不会做题”的现象．

类似地可以分析、比较基于PME、HPM下函数概念的教学设计及其效果．

例3平面概念的教学设计

Procept理论认为，数学知识的认知发展出三种不同的途径，对应着三个不同的数学世界．第一个世界被称为“概念—具体化世界”(conceptual-embodied world)．这个世界源自对物理世界和思维世界的感知．学习者基于个人头脑中已经建立起来的关于以往经验的连接，通过操作、反思来想象并不存在于物理世界中的事物．第二世界被称为“过程—符号化世界”(proceptual-symbolic world)．该世界开始于行为，并在反省抽象的过程中，利用符号将行为压缩成概念，这些符号可以帮助我们在过程和概念之间来回转换，形成图式，这些符号有助于进行计算和推理．在这个世界里，物理操作中蕴含的道理被凝聚压缩成心理操作，实现数学学习由过程到对象的飞跃．第三个世界是“形式公理化世界 (formal-axiomatic world)．在这个世界里，以几个基本结论和通用规则为出发点，以符号对象为基本元素，构建起一个自足的逻辑体系．

基于数学“三个世界”学习理论，分析基于数学史的平面概念的教学设计[5]．

案例1是引导学生观察平面的表象，然后用语词表述之．这要求学生展开充分的想象，在现实生活中为平面这个意象寻找认知的固着点．这正是符合“概念—具体化世界”的要求．初步形成平面的意象之后，还需要深入了解其性质，深化对其认识．性质是在与其他事物相互作用的过程中表现出来的一种属性．这就需要考虑几何的基本元素点、线、面之间的相互作用．案例2通过平面割几何体表面的活动，引导学生进行观察、归纳，通过学生已经熟知的直线的“直”“无限延伸”这种经验来获得平面“平”“无限延展”的属性．这是平面的公理1．进而获得平面公理1的器用：可以用来判定点、线是否落在平面上．得到公理1，先是借助实物操作经历活动具体世界中的活动过程，然后对具体世界中活动过程进行抽象、反思，使之能成为在心理中操作的活动过程，并得到确认，最后，把这活动过程中的认识成果固化下来，用符号化的语言表述出来，就完成了“过程-符号化世界”的整个历程．案例3则从画法上保证了平面的存在性，与“两点确定一条直线”具有某种相似性．意想中的概念如果能作得出来，则更容易被人们接受．如，历史上，高斯在复平面上给出复数的几何表示之后，以前争议很大的复数便迅速被人们接受了．案例3通过“实物操作——心理抽象——心理压缩”，使学生从具体世界走向符号化世界．案例4 的设计流程与案例2、3是一样的．

上述分析表明，基于数学史的平面概念的教学设计符合数学“三个世界”学习理论的要求．HPM与PME在此达成了一致．至于要达到“形式公理化”世界，在一节课中是无论如何也达不到的，只能进行一些有意识地学试．如文[6]给出了局部组织策略，尝试指导学生局部组织位置关系的逻辑链条，让学生体会公理的作用．比如直线与平面的位置关系．直线与平面之间有两种位置关系，选择直线在平面内作为公理1，直线不在平面内就是该公理的否定，就不用再用公理规定了．学生经历局部组织的过程，就能体会公理的作用．

2.2 在训练系统设计中沟通

变易理论及其教学应用，是中国数学教学的重要特征之一．就变式而言，有概念变式和过程变式．概念性变式在变化与比较中凸显本质属性，在复合与分离中，克服背景干扰，这些都有助于学生获得准确的概念．过程性变式在化归与递变中，指向问题解决，在分类与贯通中，关注知识间的联系．[7]知识技能化，有层次推进的变式训练是必不可少的．这已在实践中广为应用．

以数学史料为背景，构建有层次的训练系统，从数学史吸取智慧，也可以在教学中落实变易理论．

例4如何解一元二次方程

在数学史上，人们首先解决了形如x3+px=q(*)方程，然后，把一般的带有二次项的三次方程，通过变换将二次项消去，化归为(*)型方程，从而可解；类似地，在解一元四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0(**)，把其简化为y4+py2+qy+r=0的形式，这样类型的方程是能解的，从而(**)可解．由此，你能受到启发吗，能给出一元二次方程ax2+bx+c=0的解法吗？

解一元二次方程有配方法，花拉子米的几何法等，通过取材于数学史料的变式习题训练的编制，为教学提供有益的素材，也开阔了学生的眼界．

例5如何判断同余

在16世纪以前，方程一直是代数学的中心问题．花拉子米称方程是“还原”与“对消”的学问．在解方程的过程中，人们积累了很多的思想和方法，这些方法若能灵活运用之，数学史的智慧即为我所用矣．

设x，y均为整数，若5|(x+9y)，求证：5|(8x+7y)．这是一个标准的数论问题，用方程的思想解之，别开生面．用消元法，消去x，则有(8x+7y)-8(x+9y)=-65y，这样，因为8(x+9y)+(-65y)是5的倍数，故8x+7y是5的倍数．

消元法是解方程的重要手段之一，迁移到数论中也颇具威力．方程的思想渗透到数论中，有很多精彩的例子，这里就不再赘述了．从事高层次思维训练的教练告诉笔者，数论是训练学生计算能力的重要手段．由此观之，此言不虚．

数学史提供了丰富的资源，与变易理论进行结合，进行教学训练系统的编制，促进知识技能化，大有可为．

2.3 在情意系统中沟通

以上主要谈了在认知领域，HPM与PME的沟通情况．对教与学而言，相对认知而言，情意可能扮演了更重要的作用．在情意领域，HPM与PME可以很好沟通．

一切学与教的理论都有一个潜在假设，就是我们面对的学生是理想中的学生．这些学生虽然不一定智力超群，但也一定是没有各种“问题”的学生．然而，在现实的课堂中，学生不一定是天使，也不一定是恶魔，学生就是学生，学生就是在成长中的、有着各种秉性的人．有的朝气蓬勃、活力四射，有的调皮捣蛋、不思进取；如此等等，不一而足．对教师而言，把质优生教好，可能不一定表明您有多么厉害，如果能把“问题”学生教好，那才显现出您有卓越的教书育人的本领．对教与学而言，首先应关注人，只有学生成“人”了，谈认知发展才更有效果．一般心理学研究情绪、情感、意志、需要、动机、兴趣、理想、信念、气质、性格等个性心理特征有着重要的意义，这些虽然与具体的学科教学没有直接关系，然而却是支持个体学习的动力系统．教师应把塑造学生的情意系统放在基础而重要的位置上．

HPM为塑造学生的情意系统提供丰富的素材．我们可以以人格力量丰满的数学家为完美之人的原型来塑造“人”．如，祖冲之为了计算圆周率，至少需要对9 位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事，何况古代计算还是用算筹来进行，这需要怎样的细心和毅力！[9]运算能力是一种重要的核心素养，由计算入门而进入数学的大门是一条可行的路径，因为计算是具体的推理、推理是抽象的计算．当我们的学生害怕运算，不愿运算时，想想古人，必知耻而后勇．又如，有顽强毅力、与黑暗作斗争有“数学英雄”之称的欧拉，居六平方米小屋，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，借用一支笔一些草稿纸而作出“陈氏定理”的陈景润，都是激励我们前行的楷模．故苏轼曾说，“古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志”．人看志气树看材，没有志气，没有良好的个性品质的支持，再好的教学、学法无异于对牛弹琴．数学史本身就是一部人创造数学的历史，人的因素凝结在最终产品——知识之中．不应把知识当作一个可以搬运的对象来看作，而应看作一种文化，一种可以与之进行深度交流的对象，在其中，我们既可以感叹人类智力的深邃，更可淋浴那闪耀千古，跨越时空的精神之光．沉咏其中，我们的人品、人格、精神面貌得到了升华．成为“人”是教育的永恒话题，也是一个需要寻求有效抓手的话题，从HPM 中寻找切入，使成“人”有了一个落脚点．

3 结语

教育是个复杂系统，任何单一的理论不可能解释教育中的所有现象和问题．各种理论相互协同、取长补短，而不陷于无谓的论争之中，可能于实践更有益一些．本文仅当抛砖引玉．