判别式法判定曲线间位置关系的原理

刘鸿春

(江苏省高邮市第一中学 225600)

1 判别式法能直接使用吗

若直线方程和二次曲线方程消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，则我们可以通过该一元二次方程的判别式来判定直线和二次曲线的公共点个数．那么，它的理由是什么？教材和教辅资料上一般是将这个方法拿来就用．事实上，不少师生也认为这个方法理所当然，大家已经达成共识．下面看教科书上的例题和解答．

例1 (人教A版必修二)已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0.判断直线l与圆的位置关系．

解析(课本解法一)：由直线l与圆的方程，得

①

消去y，得

x2-3x+2=0，

②

因为

Δ=(-3)2-4×1×2=1>0,

所以，直线l与圆相交，有两个公共点．

细细思量，学生的想法有他的道理，那么问题出在什么地方？是教科书上的解答上不完善？还是学生的想法多余了？对于教科书上解答的严密性，笔者从来没有思考过这个问题，一时还不能给出答复．后经查阅资料，思考研究，笔者从方程组同解理论给出统一、简洁的理由，并进行拓展，给出判别式法在二次曲线和二次曲线的位置关系判定上的一些思考．

2 判别直线和二次曲线间位置关系

对于直线l:Ax+By+C=0而言，A与B不同时为0，下面不妨B≠0，若A≠0，同理可得相关结论．

说明2值得注意的是，下列方程组一般不同解，是推出关系，

举例x2+y2=1与x+y-1=0联立，消去y得x2-x=0，有

3 判别两二次曲线间的位置关系

如果两个曲线都是二次曲线，消元后得到一元二次方程，能用该判别式判定这两个曲线公共点个数吗？

不能！因为得到的一元二次方程的判别式与零比较只有三种情况，而两个二次曲线的公共点的个数有五种不同的情况(0,1,2,3,4)，所以两者之间不可能建立一一对应的关系.

从代数的角度分析，记二次曲线C1:f1(x,y)=0，C2:f2(x,y)=0，

若f1(x,y)=0与f2(x,y)=0联立消元后，可以得一元二次方程mx2+nx+k=0(m≠0)，易知下列方程组③与④同解,

说明一般地，方程组④中f1(x,y)=0与f2(x,y)=0都不可少，比如：

由x2+y2=1和x2+y2-x-y=0联立，消去y可得x2-x=0，

由x2+y2+2x=0和y2=x联立，消去y得x2+3x=0，x=0对应的y值为0，x=-3对应的y值不存在．

由x2+y2-2x=0和y2=x联立，消去y得x2-x=0，x=0对应的y值为0，x=1对应的y值为±1．

一般地，在方程mx2+nx+k=0(m≠0)有解的情况下，不能仅用判别式来研究两二次曲线公共点的个数．那么，在特殊情况下，能否用判别式来判定两二次曲线公共点的个数？看下列例子．

例2(人教A版必修二)已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1和圆C2的关系.

解析(课本解法一) 圆C1和圆C2的方程联立，得到方程组

①-②得

x+2y-1=0，

③

由③得

把上式代入①并整理，得

x2-2x-3=0

④

方程④根的判别式

Δ =(-2)2-4×1×(-3)

=16>0,

所以，方程④有两个不等的实数根x1,x2，把x1,x2分别代入③，得到y1,y2．

因此圆C1和圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2).

反思与例1相比较，例2的解答在计算判别式之后，未立即下结论，而是由x1,x2分别对应唯一的y1,y2，再下结论，这个步骤是否可省？

结论2若两圆的方程联立消去y(或x)之后得到关于x(或y)的一元二次方程，则该一元二次方程解的个数即为两圆的公共点个数.

证明设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，

(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③．

说明1由结论2可知，例2的解答中可以直接用④的判别式判定两圆的公共点个数．

说明2从同解的角度看，例2的解题逻辑如下：

涉及两二次曲线公共点的问题，我们还有下列结论．

下面举一例说明.

(1)求a,b的值；

(2)若动圆(x-m)2+y2=1和椭圆C没有公共点，求m的取值范围．

解析(1)a=4,b=2．过程略.

①

②

令f(x)=3x2-8mx+4m2+12,

由题意可知，

解得m∈(-∞,5)∪(-3,3)∪(5,+∞)．