创设放缩情境 实施恰当放缩

张才元

(重庆市巴川中学校(新高中) 402560)

在为学生复习过程中，笔者遇到许多学生，他们一听说用放缩法证明不等式就望而生畏，一碰到用放缩法证明数列不等式就望题兴叹.其实不然，从放缩法的本源性分析，放缩是很好理解的，也是很有趣的.所谓“放缩法”，就是放大或缩小的方法：两个不相等的实数a、b，若a>b，则从a到b就是缩小；反之，从b到a就是放大；对a

1 创设放缩情境

例1已知数列{an}的首项为a1=3，点(an,an+1)在直线3x-y=0上，

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

解(Ⅰ)由题设，求得a1=1,a2=2，猜想an=n.

所以an+1=n+1. 因此，数列{an}的通项公式为an=n.

反思由求和公式13+23+33+…+n3=

例3已知数列{an}和{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn,Tn=S2n-Sn.

(Ⅰ)求证：Tn+1>Tn；

分析由递推式易得bn、Sn、Tn的表达式，联想比较法证得(Ⅰ)，由(Ⅰ)确定Tn单调递增.根据题设联想通过累加公式S2n=(S2n-S2n-1)+(S2n-1-S2n-2)+…+(S2-S1)+S1用Tn表示S2n，再运用Tn的单调性创设缩小情境.

所以Tn+1>Tn.

(Ⅱ)n≥2⟹S2n=(S2n-S2n-1)+(S2n-1-S2n-2)+…+(S2-S1)+S1=T2n-1+T2n-2+…+T2+T1+S1.

由(Ⅰ)知Tn单调递增，从而T2n-1≥T2n-2≥…≥T2，

所以S2n=T2n-1+T2n-2+…+T2+T1+S1

证明因为3Sn=4an-2n+1+2

⟹3Sn=4(Sn-Sn-1)-2n+1+2

⟹Sn=4Sn-1+2n+1-2，

设Sn+p·2n+q=4(Sn-1+p·2n-1+q)，

则Sn=4Sn-1+p·2n+3q,

证明当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|

分析由题设知，求证不等式属于函数不等式.因此，构造函数并由函数的单调性来创设缩小情境.

反思构造函数h(x)=x3-[x2-ln(x+1)]

后求导证明该函数单调递增，运用函数的单调性实施缩小得h(x)>0，再用换元法实现不等式的证明.

(Ⅰ)an>an+1>2；

综上所述，创设放缩情境常用的方法有比较法、累加法、累乘法、递推法、等价转化法、裂项相消法、待定系数法、换元法、数学归纳法、构造函数法等；除此之外，还常用不等式的性质、二项式定理、真(假)分数的性质、函数的单调性、基本不等式等来创设放缩情境.

2 实施恰当放缩

用放缩法证明不等式时，创设放缩情境既重要又关键，但实施恰当放缩同样重要和关键.

因此，运用放缩法时，放缩程度越小，精确程度越高.在运用放缩法证明不等式时，要尽量避免犯“放量过头”和“缩量过度”的策略性错误，做到恰当放缩，要做到恰到好处的放缩，就要尽量缩小放缩程度，提高放缩精度.

教学实践表明，用放缩法证明不等式时，“创设放缩情境，实施恰当放缩”是学生复习过程的两个难点，也是学生望而生畏、望题兴叹的根本原因.在复习教学过程中，我们针对具体问题作具体分析，对具体问题师生互动，引导学生与教师一道共同探究，认真分析题设中不等式的结构形式，联想相关知识和方法来“创设放缩情境，实施恰当放缩”.并反思创设放缩情境和作出恰当放缩的关键点，引导学生从具体问题中归纳常用的放缩方法和放缩不等式(限于篇幅，常用放缩不等式不赘述)，就能激发学生的学习兴趣，增强学生克服困难的勇气和决心，使学生顺利度过难关，取得好的复习效果.