基于ISM法绘制概念图进行数学概念教学

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(首都师范大学教育科学学院，北京 100048)

基于ISM法绘制概念图进行数学概念教学

●曹月

(首都师范大学教育科学学院，北京 100048)

概念图被誉为21世纪教育新模式的信息技术与脑科学，在数学概念教学中有着重要作用.ISM法可以科学地计算出每个概念在概念图中所处的层级，运用ISM法绘制概念图能够有效地解决概念图设计过程出现的一些问题.文章将ISM法与概念图的设计流程进行整合，按照ISM法绘制概念图的步骤，以平面向量基本概念内容为例设计概念图，并对此内容的教学提出了3条建议.

ISM法；概念图；数学概念教学；平面向量

数学概念在数学教与学中有着重要的地位，可以说整个数学体系都是建立在数学概念的基础之上.数学概念是数学学习的起点，是进行数学推理的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础[1].因此，数学概念学习是学生牢固掌握和灵活运用数学知识解决问题的基础，对学生的数学学习有着重要的影响.基于此，教师在教学中要采取有效的教学策略引发学生思考、促进学生思维的发展，帮助学生深刻把握这些概念的本质.关于概念教学的可操作性研究成果有APOS理论模型、概念图指导概念教学与概念同化等模式.其中概念图被誉为21世纪教育新模式的信息技术和脑科学[2]，笔者以人教A版《数学(必修4)》第2.1节“平面向量的实际背景及基本概念”为例，就概念图指导概念教学中存在的问题以及如何有效地发挥概念图的功能进行教学分析.

1 运用概念图进行数学概念教学

概念图是由美国康奈尔大学的诺瓦克教授等人在19世纪60年代提出来的一种用来组织和表征知识的工具，它可以将有关某一主题的不同层级的概念置于方框中，用线条将相关概念进行连接，在线条附近标注连接词以表明概念之间是如何联系的.概念图可以将学生头脑中现有的认知结构以一种可视化的形式清晰地呈现出来，教师可以借此了解学生对相关知识的掌握情况，从而调整自己的教学内容使学生建构科学完整的知识网络.

概念图是由诺瓦克教授根据奥苏贝尔的概念同化理论而开发的一种认知工具，它是为了解决“在教学过程中学生能够按步骤完成相应的任务，但是不能给出合理原因”这一问题，从而将机械学习转化为有意义学习，丰富、发展了奥苏贝尔的概念同化理论.概念图可以将知识进行高度浓缩，学生在制作概念图的过程中，可以弄清楚新概念和原有概念之间的关联程度，促进学生积极思考，发展学生的概念性理解，激励学生主动建构概念网络；另外在制作概念图的过程中学生可以明白哪些概念是不清晰的、哪些是完全理解的，从而使模糊的概念变得清晰，培养学生的元认知和自主性.此外，学生运用概念图进行数学学习还可以培养其猜想、推理等数学思维能力，概念图教学对学生的数学学习有着重要的现实意义.

概念性理解是数学教育的重要目标.数学概念之间具有联系性，任一数学概念都由若干数学概念联系而成；只有建立数学概念之间的联系，才能透彻理解数学概念[3].数学概念教学最终要使学生掌握数学概念的本质属性，有效的概念教学应该能够帮助学生将新学概念与认知结构中已有的概念联系起来[4]，建构概念体系.概念图不仅可以对某一概念进行解释，还可以将零散的数学概念系统化、结构化，建立概念之间的联系，使之成为联系的整体.因此，概念图在概念教学中有着重要的作用.

2 基于ISM法绘制概念图进行概念教学

ISM(Interpretive Structural Modeling)法又称解释结构模型，是由美国Bottene研究所为研究复杂的社会问题而开发的一种方法[5].它可以将社会系统中复杂的问题分为许多子问题，利用人们的直觉经验结合计算机软件系统地确定这些子问题的顺序，进而将这些子问题组织成一个逻辑严密的结构模型，它也可以将复杂的要素分解成清晰的层次结构，在许多方面有着广泛的应用.目前，ISM法已成为较为成熟的教材设计、分析以及课程编排辅助手段.

概念图对于概念教学有着重要的现实意义，许多研究者已经设计了实验，运用实证研究的方法证明了概念图对于数学教学的作用.但是概念图的制作并没有严格统一规范的程序，往往是基于个人经验的主观判断，缺乏客观数据的支持，这样就会导致一些问题，比如概念层级出错，概念网络复杂，难以发挥其图式表征的优势.而ISM法可以利用计算机软件较科学地计算出每个概念在概念图中所处的层级，因此，本研究拟使用ISM法指导概念图的制作，完善概念图制作过程中存在的问题.

运用ISM法制作概念图的步骤如下：1)选取某一主题；2)抽取核心概念并编号；3)确定概念间的形成关系；4)绘制概念图；5)评价、完善概念图.运用ISM法制作概念图与运用ISM法绘制层级有向图进行教材分析的步骤类似，只是在绘制出层级有向图的基础上，需要在两个概念的连线旁用文字添加它们之间的关系，我们把用文字清晰地注明两个概念之间关系的层级有向图叫做概念图.平面向量包含许多核心概念，它是高中数学重要和基本的概念之一.有学者曾将概念图策略用于数学新授课、复习课、探究课等不同课型中.因此，本研究将以平面向量基本概念内容为例，运用ISM法进行“基于概念图的平面向量”一节的新授课教学设计.

3 运用ISM法设计平面向量内容的概念图

现以“平面向量实际背景及基本概念”内容为例，就上述步骤进行详细地分析.

3.1 选取某一主题

教师需要根据教学内容的特点选择恰当的教学策略.一般来说，概念图教学策略适合于概念性知识的讲解.因此，教师可以选择概念性知识比较多的某一节课，或者围绕某一主题在新授课、复习课等课型中运用概念图指导教学.

例如，“平面向量实际背景及基本概念”是平面向量第一节的内容，作为平面向量这一单元的起始课，本节课包含很多数学概念，这些概念是向量知识体系的基础，对其他知识的学习起着奠基性作用.

3.2 抽取核心概念并编号

数学概念最重要的特征就是它们都能被容纳在结构组织良好的概念体系当中，在一个概念体系中，有些概念处于核心的地位，其他概念与它有着密切的联系，或由它形成，我们把这些概念成为核心概念[6].从学科的角度看，核心数学概念一般具有以下特征：在数学相关领域中处于基础地位，能承上启下，与其他知识有广泛的联系.可见，核心数学概念具有一般概念所不具备的基础性和生长性.因此，对于核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过程，树立整体观.

根据以上对核心数学概念的定义，抽取的平面向量一节的核心概念如下：H1向量，H2有向线段，H3起点，H4方向，H5长度，H6零向量，H7单位向量，H8平行向量，H9相等向量，H10共线向量.

3.3 确定概念间的形成关系

针对抽取出的核心概念确定概念间的形成关系.一般来说，如果在定义某个概念时用到了它的下位概念，如果缺少下位概念，那么这个概念就无法定义，我们就说这两个概念具有形成关系.利用这种方法，依次判断以上选取的核心概念间是否具有形成关系.如果两个概念间具有形成关系，则上位概念在上，下位概念在下，二者之间用带有箭头的直线连接，且箭头指向上位概念.

根据概念间形成关系的定义，以上10个核心数学概念间的形成关系如图1所示：

图1

3.4 制作层级有向图

制作概念间的层级有向图，需要根据核心要素间的形成关系求出可达矩阵，再由可达矩阵分析每个要素所处的层级位置并制作层级有向图.具体过程如下：首先，将要素间的形成关系图表示为双向细目表的形式(表中的每个元素只能是0或1：0表示两个概念间不具有直接关系，也就是两个概念之间没有用箭头连接；如果两个概念具有直接关系则用数字1表示)；其次，将双向细目表表示成邻接矩阵，并通过MATLAB软件编程将邻接矩阵转换成可达矩阵；最后，根据可达矩阵求出每个要素所处的层级，并由每个要素所处的层级从低层级到高层级逐步制作要素层级有向图如图2所示：

图2

3.5 绘制概念图

根据每个概念所处的层级排列每个核心概念，再把具有形成关系的概念用一条带有箭头的直线连接，并在直线旁辅以连接词表示概念之间的关系，连接词要简明、准确，同时也要便于学生理解.根据以上绘制的概念间的层级结构，制作概念图.教师还可以根据教材内容，对于概念间除形成关系以外的其他关系进行适当补充以完善概念图的设计，绘制好的概念图如图3所示:

图3

3.6 评价、反思概念图

绘制的概念图能否准确地反映概念间的上下位逻辑关系，是否便于教师教学和学生理解建构，教师需要对此进行评价、反思，必要时还可进行适当地修改.

4 教学建议

作为平面向量一章的章节起始课及概念型课，教师在教学中需要把握以下几点：

4.1 借助生活实例，揭示向量丰富的实际背景

概念的获得一般有两种方式——概念形成和概念同化.这两种方式各有特点：前者侧重于从感性材料上升到表象，再经过抽象、归纳、概括出概念的本质特征，据此明确相应的外延；而后者则多从已有的数学概念出发，运用概念限制或概念概括的方法，分析推演出所概括的数学概念的本质特征[7].向量具有丰富的实际背景，在现实生活中随处可见像位移、速度、力等既有大小又有方向的量，向量就是从这些实际背景中抽象出来的概念.因此，教师在进行教学时可通过借助大量的实例让学生感受到“既有大小又有方向”的量是客观存在的，引导学生抽象归纳出研究对象的本质特征，形成“向量”这一概念.当学生认识向量概念之后，教师可进一步提问如何表示这一概念，教师可给学生提供充分思考讨论的空间并给予适当地引导，借此引入有向线段的概念.

4.2 基于学生原有认知结构，渗透类比思想

奥苏贝尔将学习分为有意义学习和机械学习.他认为有意义学习是指学习者能够将所学知识与头脑中原有的认知结构联系起来的学习方式.本节课的内容与学生已有的知识具有很大的关联性，数量与向量、0与零向量、1与单位向量、平行线与平行向量等知识相互联系.因此，对于零向量、单位向量、平行向量概念的教学，教师可以用数量加方向来刻画向量，使学生认识到两者的区别，明确向量的本质(大小和方向).用实数中的特殊数0与1和几何中的平行线类比得到零向量与单位向量、平行向量的概念.学生已有的知识可作为新知识的生长点，运用类比的思想进行思考，激活学生原有的认知结构，自然而然地得出新概念.

4.3 构建概念网络，促进概念理解

概念图不论是对于教师的教学还是学生的自主学习都有着重要的指导作用.教师可以根据每个概念在概念图中所处的层级向学生讲解概念，也可以将绘制好的概念图呈现给学生，帮助学生理清概念间的上下位逻辑关系，准确地建构知识网络.教师在引导学生形成概念后，可以在总结环节将绘制好的概念图呈现给学生，引导学生用联系的观点看待数学概念，深化对概念本质的理解，构建自己的认知网络.

[1] 奚定华.数学教学设计[M].上海：华东师范大学出版社,2001.

[2] 王兄,汤服成.概念图及其在数学学习中的现实意义[J].数学教育学报,2004,13(3)：16-18.

[3] 李善良.论概念联系与概念网络在数学概念学习中的作用[J].课程·教材·教法,2005,25(7):53-58.

[4] 崔灵灵.概念图在小学数学概念教学中的应用研究[D].开封：河南大学,2014.

[5] 傅德荣,章慧敏,刘清堂.教育信息处理[M].北京：北京师范大学出版社,2011.

[6] 邵光华,章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程·教材·教法,2009,29(7):47-51.

[7] 徐文斌.数学概念的认识及其教学设计与课堂教学[J].课程·教材·教法,2010,30(10):39-44.

2017-10-28

曹 月(1994-)，女，山西晋中人，硕士研究生.研究方向：数学教育.

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1003-6407(2017)12-01-03