微型探究揭本质 深度学习促素养——一节习题研究课的教学活动及课后调研和思考

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(仪征中学,江苏 仪征 211400)

微型探究揭本质深度学习促素养
——一节习题研究课的教学活动及课后调研和思考

●花奎

(仪征中学,江苏 仪征 211400)

如何提升习题研究课的有效性？可以通过探究错因，寻求正解；反思观察，优化方法；无疑生疑，揭示本质；总结应用，形成经验等教学流程进行教学.通过课后调研发现开展微型探究应做到以下几点：基于学生基础，把学生的思维作为解题教学的起点；基于对话交流，利用元认知提问驱动学生学习的动机；基于质疑反思，通过微型探究揭示数学本质.这样做能够促进学生深度学习，提升学生的思维层次和数学素养.

习题课；微型探究；深度学习；素养

习题是数学知识的载体，是数学思想方法的生长点，蕴涵着巨大的教育潜能.特别是在数学高考总复习中，习题研究课更为常见，如何提升习题研究课的有效性，一直是笔者思考的问题.近日，在江苏省扬州市领雁工程培养对象汇报课展示活动中，笔者听了一节高三习题研究课，是对一道习题的纠错探究教学，给笔者留下了深刻的印象.

1 教学片段实录

1.1 探究错因，寻求正解

题目设函数f(x)=ax3-3x+2(其中a∈R)，若对于任意的x∈[-2,2]都有f(x)≥0成立，则实数a=______.

师：这是近日数学测试卷中的一道填空题，同学们的正确率不高，只有50%.这节课，我们就来研究这道题，希望有所收获.

教师投影生1的解题思路:

由题意知f′(x)=3ax2-3，令f′(x)=0得

师：这部分的解答过程有问题吗？如何纠正？大家讨论一下.

(教师给学生6分钟左右的思考时间.)

生3(解法1)：我认为应当分类讨论.

1)当a≤0时，f′(x)<0，此时f(x)在[-2,2]上单调递减，从而

f(x)min=f(2)=8a-4≥0，

2)当a>0时，令f′(x)=0,得

f(x)min=f(2)=8a-4≥0，

因此要使f(x)≥0在[-2,2]上恒成立，则

综上所述，a=1.

师：太好了！生3的解法将不等式f(x)≥0恒成立问题转化为最值问题，即f(x)min≥0，然后通过分类讨论来求f(x)min.分类讨论要求我们具备清晰的思维，逐一解决.大家再想想看，除了直接研究函数f(x)的最小值这种解题思路，不等式f(x)≥0恒成立问题还可以用什么方法来解决？

生4：参变量分离.

教师展示生4的解法：

f(x)≥0可化为ax3≥3x-2，即

从而g(x)在(-2,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，于是

g(x)max=g(1)=1，

故a≥1.

师：大家思考一下，生4的做法有错吗？错在哪里呢？

生4:老师，我知道错在哪里了！我没讨论：因为x∈[-2,2]，需分x=0,0

师：生4自我反思和自我批评的精神值得我们学习！为什么要分类讨论呢？

生4：不等式ax3≥3x-2两边同除以x3，要考虑不等号的方向是否改变，即要考虑x3的正负性，而x的正负性不确定，因此要对x进行讨论.

师：说得很好，那么你能说说完整的解法吗？

生4(解法2)：f(x)≥0恒成立，可化为ax3≥3x-2恒成立.

从而g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，于是

g(x)max=g(1)=1，

故a≥1.

从而g(x)在[-2,0)上单调递增，于是

g(x)min=g(-2)=1，

故a≤1.

综上所述，a=1.

师：有问题吗？

(生4疑惑地表示没有.)

生5：少讨论了x=0的情况，应添加第3种情况，即“3)当x=0时，不论a取何值，f(x)≥0恒成立”.

师：很好！分类讨论是一种常见的数学思想方法，要做到不重复不遗漏，这需要我们顽强的毅力和清晰的思维.现在，大家再回头思考一下这两种方法，是怎么想到分类讨论的？又是怎样讨论的？讨论的依据是什么？

(教师给大家5分钟左右的题后反思总结.)

1.2 反思观察，优化方法

通过学生展示补充，形成以下认知网络：

图1

师：分类讨论是一种重要的数学思想方法，我们应当掌握.如此复杂的分类讨论，一不小心就会出错.那么，有没有其他方法来减少讨论，甚至避免分类讨论呢？

(一石激起千层浪，众生顿时叽叽喳喳地讨论起来.)

生6：代入两个端点值，可以缩小a的范围？

师：哦，这是你们不会做时经常用的绝招，你继续说说看.

(全班学生大笑.)

生6：f(x)≥0对x∈[-2,2]恒成立，则当x=±2时，f(x)≥0成立，即

生(众)：只有一种！

(学生们异口同声，惊叹这种方法的精彩！)

师：好！请尝试书写完整的解题过程.

生7：因为f(x)≥0对x∈[-2,2]恒成立，所以

令f′(x)=3ax2-3=0，得

要使f(x)≥0在[-2,2]恒成立，则

师：通过该方法的学习，以后解题时我们可以利用“特殊值效应”(即恒成立的必要条件)将参数的范围缩小，以减少分类讨论.

生8(迫不急待)：老师，我的方法更简单！

师：你说说看！同学们也来听听，看有何新发现？

(生8话音刚落，雷鸣般的掌声响了起来……)

1.3 无疑生疑，揭示本质

师(示意大家安静)：生8的做法太巧妙了，通过取特殊值夹逼出参数a的值.同学们做完这道题后有没有什么困惑？

在学生以为大功告成的时候，笔者又抛出一个新的问题，于无疑处生疑.学生们七嘴八舌，最后综合提出两个困惑：1)生8的做法很巧，特别是取x=1，夹逼出参数a的值，这是偶然还是必然呢？2)不等式恒成立问题一般都是求参数的范围，而不是求参数的值，为什么这里的参数a是一个具体值？学生们小声地交流着意见，但还是说不出所以然.

生9(过了一会儿)：能否从图像的角度去看呢？

师：生9提出了很好的“念头”，华罗庚教授也说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，大家是否可以从形的角度来理解一下呢？

(学生们似乎明白，纷纷在下面进行尝试.)

生10：ax3-3x+2≥0对任意的x∈[-2,2]恒成立，等价于ax3>3x-2恒成立，从形的角度可以理解为函数y=ax3的图像恒在直线y=3x-2的上方.

师：直线y=3x-2是确定的，函数y=ax3的图像怎么画呢？

图2

生11：当a≤0时，函数y=ax3(其中x∈[-2,2])的图像不可能恒在直线y=3x-2的上方.当a>0时，过端点(-2,-8)的函数y=ax3中参数a=1，而且通过计算发现y=x3的图像恰好与直线y=3x-2相切于点(1,1).要使y=ax3的图像在第一象限恒在直线y=3x-2上方,则a≥1,要使y=ax3的图像在第三象限恒在直线y=3x-2上方，则a≤1,故a=1.

(教师在学生讲解过程中，用几何画板演示图像的变化情况，便于学生直观理解.)

师：我们从形的角度理解了生8做法中所取的x=1正好是y=ax3的图像与直线y=3x-2的切点，夹逼出参数a的值是必然的.为什么这里的参数a是一个具体值呢？这个题目特殊在哪里呢？

生12：这道题特殊在过端点(-2,-8)的函数y=x3恰好与直线y=3x-2相切.如果不相切的话，就应该是范围.

师：很好！你通过图像从形的角度完美地解释了a为定值的原因.那么，你能不能改编一下这道题，使得a的值是一个区间范围？

生12：只要将直线方程改一下，让它还经过点(-2,-8)，改变斜率(斜率小于3)就可以了，譬如将斜率改为2，直线方程为y=2x-4，当a>0时，不等式变为ax3≥2x-4，即函数的解析式变成了f(x)=ax3-2x+4.

师：非常好！让我们为她的精彩改编鼓掌！

1.4 总结应用，形成经验

师：通过这道题的学习，对于不等式恒成立求参数问题一般解决的策略是什么？请同学们尝试对图1中的认知网络图进行补充.

并引导学生补充完整图1中的认知网络(如图3所示)：

图3

教师投影练习题：

1)设函数f(x)=ax3-3x+1(其中a∈R)，若对于任意的x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，则实数a=______.

2)设函数f(x)=(ax2+x)ex(其中a∈R)，其中e是自然对数的底数，若函数f(x)在x∈[-1,1]上是单调增函数，求实数a的取值范围.

3)设函数f(x)=(m-3)x3+9x，若f(x)在区间[1,2]上的最大值为4，求m的值.

上述3个练习让学生当堂完成.教师通过课堂观察到：学生完成情况较好，正确率较高.

2 课后访谈与调查

笔者听了这节习题讲评课，觉得这是一节难得的好课，因此很想了解教师对这节课的设计意图和教后体会，也想了解学生通过本节课的学习感受.于是对教师进行访谈，并对学生进行问卷调查.

2.1 与教师的访谈交流

笔者：您这节课是一节习题研究课，为什么会选用这道题？

师：1)这道题是我们最近高三数学测试题上的一道填空题，其实是2008年江苏省数学高考第14题的改编，考查的知识和数学思想方法很丰富，学生有必要理解和掌握.2)从测试反馈来看，正确率不高.课前我让每位学生在纸上写下考试时的解题思路.经过批阅，发现大多数同学选择直接研究函数f(x)的最值，但由于需要对a进行分类讨论，过程复杂，有不少同学出现错误或放弃；也有一部分同学选择先参变量分离再求最值，但由于还需要对x进行分类讨论，正确率也不高；只有个别同学利用“特殊值效应”将参数的范围缩小，再继续做.针对学生的答题情况，我觉得选用这道题来研究是有必要的.

笔者：您的教学活动的设计意图是什么？

师：1)暴露学生的错误观点及学生在解题过程中的思维障碍，通过学生独立思考与合作交流，掌握不等式恒成立求参数范围(或值)的问题的方法，特别是利用“特殊值效应”缩小参数的范围减少分类的方法.2)通过这样的研究课，培养学生的反思、质疑意识和发现问题的能力，做一个会思考的人.

笔者：通过这节课的教学，您有何体会？

师：这节课学生的学习活动有两处超出了我的预设，这是课前没想到的：1)生8的解法直接通过取特殊值将参数a的值夹逼出来；2)“同学们做完这道题后有没有什么困惑？”只是平时上课的习惯性一问，却问出了两个值得去探究的问题，又得到了数形结合的方法.

笔者：您认为教学效果如何？

师：我个人认为实现了教学目标，又有新的生成，学生通过不断探究揭示了数学本质，从课堂尝试练习来看，学生完成还是不错的，个人对本节课比较满意.教学效果究竟如何？还要由学生来评价.

2.2 对学生的调研分析

为了便于对学生进行调研，笔者设计了如表1所示的问卷，发放给上课班级的学生，共发放48份，收回有效问卷45份.

表1 学生调查问卷

经统计分析表1中的这6个问题，选A的比例分别为93%，84%，84%，98%，100%，93%，可以看出学生喜欢这样的课堂：不仅是有收获的，而且是被尊重的.如此学生自己的想法才能得到充分展示.

3 听课及访谈调研后的思考

笔者听了这节课及课后进行访谈调查，心里无比激动.笔者一直思考的问题“如何提升习题研究课的有效性？”，这节课无疑作了一个示范.

3.1 基于学生基础，把学生的思维作为解题教学的起点

不少教师出于某些功利性目的的需求，习题教学就是向学生讲解一道又一道的题目，介绍一种又一种的解题方法，不关心学生的思维障碍在哪里，无视学生的基础和感受，这种教学助长了学生思维的被动性，学生往往只会记下这道题目的正确答案，却很少在课后追问为什么，因而他们记录的正确答案实际上沦为一个个毫无意义的符号.如何提升习题课的有效性？应从学生的基础出发，基于学生的认知规律，把学生的思维作为解题教学的起点，因势利导进行教学.正如案例中的教师在课前详细批阅了学生的解答过程，了解到学生的主要思路和存在的典型问题，以此作为本节课教学的起点，在课堂上暴露学生的错误观点及思维障碍，尊重学生的思维，顺其自然地帮助学生[1]，引导学生独立思考与合作探究，使学生理解掌握了不等式恒成立求参数范围(或值)的问题的方法，特别是利用“特殊值效应”缩小参数范围减少分类的方法.

3.2 基于对话交流，利用元认知提问驱动学生学习的动机

伊列雷斯教授认为动机维度是学习中的一种重要和不可或缺的要素，它以动机、情绪、态度和意志模式出现，至少与学习的内容和结果同等重要.动机常常会是一个“认知不协调”问题，即一个人经历的事物是与他的观念相冲突的.而“认知不协调”问题常产生于问题驱动[2].本案例中，教师在学生思维“最近发展区”倡导思维风暴，通过“这部分的解答过程有问题吗？如何纠正？”“这一思路该如何完善呢？”“不等式f(x)≥0恒成立问题还可以用什么方法来解决？”“生4的做法有错吗？错在哪里呢？”“为什么要讨论呢？”“你能说说完整的解法吗？”“是怎么想到分类讨论的？又是怎样讨论的？讨论的依据是什么？”“有没有方法来减少讨论，甚至避免分类讨论呢？”“有没有什么困惑？”“你能不能改编一下这道题，使得a的值是个范围？”等一系列元认知提问，引发认知冲突，激发探究学习的动机，让学生在独立思考的基础上合作交流，使学生自行解决“思维障碍”，提炼了“不等式恒成立求参数值(范围)”的常见思想方法，完善了学生的认知结构，而且学生认识到教师是真诚地对大量的想法和回答感兴趣，学生增加了学习数学的幸福感，有利于学习动机的激发与持续.

3.3 基于质疑反思，通过微型探究揭示数学本质

启发性质疑是质疑教学的基本特征.通过给学生一个启发提示语或问题，引导学生反思自己的数学活动经验，从而促使学生自己进行探究，并把通过探究重新获得的新认识说出来，让原有的思维经验获得新的生命力.本案例中教师不断通过问题引导学生质疑和反思，自然生成了一个个源于学生的“念头”，并进行有效地探究，特别是在学生得到了题目的正确解答后，并没有到此结束，而是于无疑处生疑，“迫使”学生提出了两个困惑，激发学生的愤悱之情，自觉开展微型探究，促进了学生的深度学习.从形的角度来思考问题，不仅完美地诠释了答案，揭示了数学的本质，更进一步提升了学生的思维层次和数学素养.

[1] 伊列雷斯.我们如何学习——全视角学习理论[M].孙玫璐,译.北京：教育科学出版社，2010.

[2] 波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M].涂泓，冯承天,译.上海：上海科技教育出版社，2002.

2017-10-10

江苏省教育科学“十二五”规划课题(B-b201502285)；江苏省教育科学“十三五”规划课题(D/2016/02/244)

花 奎(1972-)，男，江苏仪征人，江苏省特级教师.研究方向：数学教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)12-04-05