突出概念建构过程 促进数学素养提升

摘 要：苏科版初中数学教材将无理数置前学习.对于教材的这一变化，教学中概念的建构过程要“顺势而为”，概念的建构途径要“问题导引”， 概念的建构方式要“主体自觉”，数学素养提升一定“可为、能为、有为”.

关键词：概念建构；素养提升；教学感悟

苏科版《数学》（2012年审定）七年级上册第二章《有理数》第二节课安排了“有理数与无理数”的教学内容.新版教材将无理数置前教学，老师们普遍感到不太适应，甚至无法理解：刚刚入校的初一学生，“知识储备不足、无理数的数学现实缺乏、数学思想方法欠缺、理解有一定的困难，加之有限逼近、合情推理本身也不够严密”，无理数概念怎样建构？基于教材的这一变化，教者如何引领学生有效建构无理数概念，并落实数学素养的培养？笔者曾就本节课开设一节研讨课，恳请同行指教.

一、教材分析

前一节课，同学们学习了正数、负数的意义，完善了整数、分数的结构，对数系进行了扩充.本节课一是学习有理数概念；二是知道无理数的含义，对数系继续进行扩充.这样的内容安排是基于知识学习和思维发展的需要，是由“正→负”到“有理→无理”的合理联想.这样的安排也为后续学习数轴、理解数轴上的点表示的数并不都是有理数、数系的完善以及今后进一步探索和学习数学规律、发展数学思维等奠定基础.当然，这样的安排也为小学学习的圆周率π找到了“家”.

本节课无理数的学习是一个难点.一方面，学生已有的生活现实、学习过程中与无理数相关的信息不多（仅在圆周长、圆面积学习时对圆周率有所感知）.另一方面，对无限的研究方法缺失.本节教材，编者选用了两个边长为1的正方形，将其剪拼成一个面积为2的大正方形的活动，让学习者感受无理数的存在性；接着通过列举、逼近等方式感受大正方形的边长不能写成分数形式，其值为一个无限不循环小数，从而给出无理数的概念.最后，通过圆周率、构造的无限不循环小数感受无理数的存在性和多样性，深化无理数的认识和理解.当然，无理数的发现是一个艰辛的过程，更是古希腊数学家希伯斯用生命换来的.本节课还可利用相关故事，让同学们感受科学家们探究真理、捍卫真理的科学精神.

数学教学的目标一方面让学习者知晓所学的知识，另一方面让学习者参与数学学习活动的过程，在自主参与、思考、探究的过程中，逐步形成数学的思想方法，积累数学活动经验，发展思维能力，培养数学精神，提升数学素养.为此，本节课教学目标如下：

（1）对已学的整数、分数进行分析，猜想是否存在不能表示成分数形式的数；从小数的角度猜想是否存在有限小数、循环小数以外形式的小数.

（2）经历面积为2的正方形边长的分析，感受其值不能表示成分数形式且具有无限不循环的特征.

（3）经历分析、比较、归纳、猜想等活动，理解有理数、无理数的概念，感受数系的扩充过程，通过无理数的发现以及π等无理数小数位置值有关的故事，感受数学家探索真理、坚持真理的科学精神，激发学生的学习信心和热情.

二、教学过程

（一）情境创设 引入新课

活动一：写几个具体的整数和分数（注意多样性和代表性），并思考下列问题：

（1）你能把这些数写成两个整数比的形式吗？试一试，用语言归纳你的发现.

（2）你能把所写的这些数化成小数形式吗？试一试，把你的结论与同学交流.

（3）下列小数你能写成分数的形式吗？把你的结论与同学交流一下.（如有困难请参考课本第17页读一读） 0.3，-3.2，3.11，0.333……，0.2666…….

预设意图：通过本组问题的自主思考和交流研讨，复习上节课学习的整数和分数的意义.经历和感受：整数和分数都可以写出分数（m，n是整数，n≠0）的形式；有限小数、循环小数都可以化成分数；整数、分数可以化成有限小数或循环小数.通过独立思考、交流合作、归纳总结，培养思考力、合作意识和语言的表达力.

（二）新知探索 合理建构

活动二：想一想，猜一猜

我们学过的小数有有限小数、循环小数，会不会存在其他形式的小数？如果有，你能写几个出来？与同学交流一下.

预设意图：本组活动意在引领学生分析小数的特征，继而猜想小数中可能包含无限不循环特征的一类小数，并通过交流合作构造这样的数，如0.1010010001……（两个1之间依次增加一个0）等初步感受无限不循环小数的存在.培养分类意识、创新意识.

活动三：拼一拼，议一议

如图1，将两个边长为1的小正方形，沿图中的虚线剪开，拼成一个大正方形.

（1）将你拼出的图形画出来，并与同学交流.

（2）如果设大正方形的边长为a，

探索：① a是整数吗？说说你的看法和理由；

② a是分母为2的分数吗？说说你的想法；a是分母为3的分数吗？说说你的想法……

③ a是哪个范围内的数？说说你的看法和理由；你会估计a的整数部分？十分位？百分位？……

（3）依据（2）中探究，你能描述关于a的一些结论吗？说给同学听一听.在小学里你遇到过具有这一特征（无限不循环）的数吗？你能介绍与之相关的信息吗？

预设意图：本组活动意在引领学生动手进行拼图实践，然后对面积为2的大正方形的边长a进行探索，从直角三角形斜边最长、三角形两边之和大于第三边、两点之间线段最短或12=1、22=4等多种角度分析a不是整数，通过分母为2，3，4……的分数平方的计算，感受a也不是分数；通过测量及a的范围确定来感受a是一个小数；然后利用平方计算逐步估计和探索其整数部分、十分位、百分位……的数值；借助对a的一些结论的描述，学会正确表達数学信息：a不是整数、a不是分数、a是小数、a是无限不循环小数等；通过圆周率及其相关信息，感受无限不循环小数的存在和前人所做的一些贡献.渗透逼近、合情推理等数学思想方法，感受理性精神，培养数学之情.endprint

活动四：分一分，议一议

（1）小数可以分为哪几类？

（2）整数、分数可以化成何种小数？

预设意图：本组活动意在引领学生建构有理数、无理数的概念，形成数的分类结构图式.

（三）应用反馈 深化理解

活动五：练一练，辨一辨

1.将下列各数填在相应的括号内： -6，9.3，-，42，0，-0.33，0.333……，，1.41421356，-2π，3.3131131113……，

-3.1415926，0.1010010001.

正数集合：{ …}；负数集合：{ …}；有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}.

2.判断下列说法是否正确：

（1）分数是有理数（ ）； （2）正数是有理数（ ）；（3）无限小数是无理数（ ）；（4）无理数是无限小数（ ）.

预设意图：本组练习主要是对有理数、无理数的概念等进行应用，并通过交流，深化概念的认识和理解.

（四）反思回顾 整体建构

1.说说你对有理数、无理数的认识，本节课我们是如何研究它们的？

2.无理数发现的故事（希伯斯）.

（五）分层作业 学力延伸

1.必做：《同步练习》.

2.选做：若a2=3，a也是一个无理数，探一探其整数部分、十分位、百分位的数值.

三、教学感悟

（一）概念建构——“取势、明道、优术”

数学概念的形成过程本身就蕴藏了极其丰富的数学思想方法以及数学文化背景.“重概念内容，轻概念形成过程的教学活动”，难以触及深度思维，难以构建不易遗忘的数学结构.弗赖登塔尔（荷兰）十分重视学习者“数学化”的方式和过程，倡导学习过程的“再创造”，以此促进数学思维的发展和数学素养的提升.

1.概念的建构过程要“顺势而为”——“取势”

“顺势而为.”一是要关注“学生已有的认知发展水平和已有的生活和数学经验” [1]，找准知识生长的起点，顺“认知基点”之势而行；二是要关注学生的“最近发展区”，找准思维能及之处，顺“思维可及”之势而行；三是要关注教材编写意图，找准教材的“明线”（知识线）、暗线（素养线），顺“教材脉络”之势而行.本节课教学前，学生已经学会将分数转化为小数，有限小数、循环小数转化为分数.“将整数、分数化成两个整数之比”“整数、分数与小数互化”等正是学生“认知的基点”所在.本节课的学习从这里起步，顺乎自然，走得踏实；引入负数后，整数、分数统称有理数，从“正”到“负”的数系的扩充经验，自然会从“有理”向“无理”联想；基于小数的类别：有限小数、无限小数完善的角度，由无限小数中的“循环”特征联想、猜测“不循环”一类的存在.圆周率便为学生们提供了猜想之源，顺“思维可及”之势，依“最近发展区”而行，学得扎实；教材编写从“有理”到“无理”，从拼图操作到数值估算，从直接感知到理性构造以及蕴含的“数感”“直观”“运算”“估值”“猜想”“联想”“分类”“类比”等素养的养成也是编者的意图.这也为本节课提供了“脉络”之势，顺其而行，走得坚实.

2.概念的建构途径要“问题导引”——“明道”

“问题是数学的心脏.”学习自疑问开始，概念的建构也不例外.以疑引思、释疑求道、反思升华，达到“知其然，知其所以然”的境界.“问题导引”是概念建构的有效途径：问题引发学生的自主思考和主动探究的欲望；问题串引领学生的思考和认识步步深入；多角度、多层次、多方位的探索，让解决问题的路径和策略不断优化，促进学生的思维发展；反思归纳总结促进数学新概念有效生成.本节课教者首先通过三个问题引领学生探索建构整数与分数、整数分数与小数的联系；然后通过问题“学过的小数有有限小数、循环小数，会不会存在其他形式的小数？”引发学生思考和猜想；接着利用面积为2的正方形边长的一组具有探索性的问题串，将学生的思考引向深入，直指无理数的本质特征——“无限不循环”；最后用小数分类的问题，引导学生完成有理数和无理数的建构；练一练、辨一辨的问题研讨让概念理解得到升华.问题虽多，但逐层推进；问题虽细，但思考深刻.“问题导引”让概念理解更加透彻.

3.概念的建构方式要“主体自觉”——“优术”

数学学习是学习者积极参与、主动建构的过程.优化教学策略、变革教学行为，以“学”为中心、以学生为主体、基于生成的课堂是唤起学习者“主体自觉”意识以及概念建构的重要方式.数学情境和活动设置要基于学生已有的认知结构、认知水平、认知经验、生活现实、数学现实、兴趣特点以及其与本课内容的联系等诸多方面.教学过程的推进以问题导引，营造自主探究、交流讨论氛围；问题的设置具有层次性、思考性、引导性；交流活动要关注及时性、参与度、疑惑点，把生成落到实处；评价方式注重激励性、多样性、适切性.学生积极参与概念建构的过程，亲身经历探索的活动，感受数学探究的酸甜苦辣；主动参与简约、严密、精致的数学概念、符号、公式、法则的“创造”过程，收获数学家般创造的喜悦，享受“创造”数学之美的精彩，领略博大精妙的数学文化.本节课以活动为依托，引发学生自主观察、独立思考、共同讨论.从数的不同表述形式之间联系的探索到小数类别的不完美感觉，从合情猜想到“面积为2的正方形边长是怎样的一个数”的逼近探索，从问题探究到结论归纳完善等诸方面激发学生主动参与的热情，尽情发挥主体的想象力和创造力.建构“主体自觉”课堂，让概念的生成过程主动而积极、灵动而深刻.

（二）素养提升——“可为、能为、有为”

数学教学的目标是育人，载体是数学教学内容.数学文化的传承、数学精神的培育、数学核心素养的形成是数学育人的核心任务.数学教与学的生态决定了育人达到的高度.章建跃教授一直倡导数学教师要在“理解数学、理解学生、理解教学”上下足功夫.“理解数学”就是需要教师挖掘数学知识蕴含的价值观资源，并以与学生智力发展水平相适应的方式表达出来.以恰当的方式传达给学生，就能有效地实现数学课程的育人目标.“理解学生”的核心就是需要教师理解学生的数学认知规律和情感发展规律，把握“以学定教”策略.“理解教学”就是需要教师准确认识和运用数学教学规律，具有敏锐的教学机智[2].

教材编者将无理数概念的学习任务从《数的开方》前移至有理数一章，并把无理数概念与有理数概念安排在同一课时学习.这一编排与老师们以前学习或执教这部分内容的顺序不同，“不适应，甚至不能理解”都属正常.当然，在不同学段学习者已有的数学现实、认知结构和水平不同，教学内容的呈现方式也自然会发生变化.因此，教学达成的目标也要调整.深入理解教材编写意图，准确把握这部分教学内容的“度”，合理安排好无理数概念的有效建构活动显得尤为关键.本节课教学观摩后，听课的老师们感到耳目一新，收获多多.概念课也好，习题课复习课也好，数学实践活动也罢，设置合理的教学过程，组织合适的学习路径[3]，数学核心素养的培养不仅可以为，而且能够为，最终大有作为.让数学核心素养的养成和理性精神的培养在每一节课落地生根是数学课堂的永恒追求.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：4-5.

[2]章建躍.理解数学，理解学生，理解教学[J].中国数学教育，2010（12）：3-7.

[3]钱德春，吕同林.初中数学情理交融课堂教学的实践研究开题报告[J].中学数学教学参考（中旬），2014（8）：55-58.endprint