抓本质 重模型——对古典概型的几种常见模型的归纳

江苏 王延全

抓本质 重模型
——对古典概型的几种常见模型的归纳

江苏 王延全

1.基本事件个数少的问题可以采用枚举法

【典例】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(Ⅰ)若从甲、乙两校报名的6名教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(Ⅱ)若从甲、乙两校报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

【解析】(Ⅰ)从甲、乙两校报名的6名教师中各任选1名，所有可能的结果为：(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，共计9个基本事件；

(Ⅱ)从甲、乙两校报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为：(甲男1，甲男2)，(甲男1，甲女)，(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，甲女)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，(乙男，乙女1)，(乙男，乙女2)，(乙女1，乙女2)，共计15个基本事件；

记“选出的2名教师来自同一学校”为事件B，事件B含有以下6个基本事件：

【变式】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M,I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

( )

2.同一事件涉及多个因素可用树状图

【典例】经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：

(Ⅰ)三辆车全部继续直行；

(Ⅱ)两辆车右转，一辆车左转.

【解析】画出三辆汽车先后经过一个十字路口转向的树状图，可以发现所有可能出现的结果共有27个，它们出现的可能性相等，即共有27个基本事件.

【评注】当一次试验涉及三个或三个以上的因素时，通常借助树状图不重不漏地计算基本事件的总数.树状图一般从上至下或从左至右进行“枝叶”展开，注意“不重不漏”的进行列举.

【变式】“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛.假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人分出胜负的概率是多少？甲胜的概率是多少？请用树状图的方法解决.

3.每个事件涉及两个因素可用列表法

【典例】随机地掷一枚骰子两次(或抛掷两枚骰子一次)，计算：

(Ⅰ)点数出现两个4点的概率；

(Ⅱ)点数之和是7点的概率.

【解析】随机地掷一枚骰子两次(或抛掷两枚骰子一次)，所有结果如下表所示：

第一次第二次1点2点3点4点5点6点1点(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2点(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3点(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4点(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5点(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6点(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)

由上表可知，随机地抛掷两枚骰子的基本事件总数是36种.

【评注】当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法.本题运用表格将36种情形一 一列举，具体形象，一目了然.

【变式】某中学一年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十二班中选1个班,有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和是几(见下表),就选几班,你认为这种方法公平吗?

1点2点3点4点5点6点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116点789101112

4.不放回问题可用半表计算基本事件

【典例】一个盒子里装有标号1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的标签，今随机地选取两张标签.如果标签选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率.

【解析】随机地从盒子里选取两张标签，如果不放回，则有如下45个基本事件(例如：摸到1,2号标签用{1,2}表示)：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{1,8},{1,9},{1,10}

{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},{2,8},{2,9},{2,10}

{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{3,9},{3,10}

{4,5},{4,6},{4,7},{4,8},{4,9},{4,10}

{5,6},{5,7},{5,8},{5,9},{5,10}

{6,7},{6,8},{6,9},{6,10}

{7,8},{7,9},{7,10}

{8,9},{8,10}

{9,10}

【评注】当从有限个总体中不放回地抽取两个样本时，可以不考虑抽取的顺序，通过列出半表来计算基本事件，这样就简化了计算.

【变式】一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球.

(Ⅰ)共有多少个基本事件？

(Ⅱ)摸出的两个都是白球的概率是多少？

【解析】(Ⅰ)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).因此，共有10个基本事件.

江苏省连云港市赣马高级中学)