探索“反比例函数”的课堂教学

邓德东

摘要：在反比例函数课堂教学中，结合例题，探索反比例函数一些题型的解题规律，适时渗透相关数学思想，让学生感悟数学思想在解题中的作用，并能在解决问题的过程中，融会贯通，形成自己解决问题的思想和方法。

关键词：课堂教学；反比例函数；数学思想

“反比例函數”是九年级下册第二十六章教学内容，它是一种简单而又重要的函数。通过教学，让学生明白，现实世界和数学中具有反比例变化规律的问题，都可以用反比例函数来描述。学习本章之前，学生已学习了正比例函数、一次函数、二次函数，对函数的学习有了一定的认知，所以学习反比例函数，可以用类比的方法让学生再次经历函数学习的几个过程：一理解函数的概念，二明确函数的图像和性质，三掌握函数的应用。教材中本节的内容比较简单，但在日常生活中，物理、化学学科学习中都要用到反比例函数，而且各地市中考题中，也经常出现难度较大的以反比例函数为载体的题目，这些题目注重知识间的融合。因此让学生扎实学好反比例函数概念、图像和性质；确定反比例函数解析式及综合应用显得尤为重要。

在教学中，受课时安排的影响，不可能把所有的问题都安排在课堂中让学生思考解决，但是我们可以在课堂教学中结合练习题讲解、学生练习，适时渗透数学思想，让学生吃透问题，理解本质，进而形成合理有效的解题方法。

一、在数学课堂教学中渗透类比思想

类比是一种重要的数学思想方法。大数学家拉普拉斯说：“在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比。”研究反比例函数的概念、图像、性质可以类比正比例函数、一次函数、二次函数的研究方法，这样的安排符合学生的认知规律。

1.用类比的方法学习反比例函数的概念

通过类比学习，加深学生对反比例函数概念、解析式的理解，同时给学生强调反比例函数的一个重要特征“”。

2.用类比的方法学习反比例函数的图像及特征

反比例函数的图像与特征，可以与正比例函数的情况进行对比，通过画出两种函数图像，让学生观察发现：时，反比例函数和正比例函数的图像都在第一、三象限；时，反比例函数和正比例函数的图像都在第二、四象限，但是正比例函数的图像是直线，而反比例函数的图像是曲线，且两种函数的增减性不同，让学生明白，为什么反比例函数的增减性要强调在每个象限内，y随x的增大而增大（或减小）。

3.用类比的方法求反比例函数的解析式

求反比例函数的解析式，可类似于求正比例函数解析式的方法，借助函数变量x、y一组值或者知道函数图像上的一个点坐标，就可以求出该反比例函数的解析式，同时加深学生对待定系数法的理解。

用类比方法学习反比例函数，加深了学生对所学知识的理解，同时给学生以提示，知识之间是有联系的，要学好反比例函数，就必须掌握好前面学过的函数的有关知识，鼓励学生不断完善自己的知识体系。

二、在数学课堂教学中渗透数形结合思想

“数”和“形”是数学中最基本的两个概念，数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微。”在反比例函数课堂教学中，可结合具体题目对学生渗透数形结合的思想。

例1.（2016成都）已知、两点都在反比例函数的图像上，且.则（填“>”或“<”）

分析：这道题没有给出具体的值，难以通过计算求出的值，除非取一组的特殊值，但是这样的做法缺乏一般性。此时给学生渗透数形结合的思想，要求学生画出反比例函数的图像，根据P、Q两点的坐标特点，把P、Q两点放入图像中（大致位置），观察点的位置，非常容易得出的大小关系。

例2.已知正比例函数与反比例函数的图像交于A、B两点，若点A坐标为（-1 ，a），则点B坐标为__________

分析：先将点A的坐标（-1 ，a）代入，求出a=2，则A（-1，2），接下来常规做法是将（-1 ，2）代入，求出k值，再联立方程组求出另一个交点B的坐标为（1 ，-2）。若本题借助数形结合思想，因为反比例和正比例函数的图像均关于原点对称，易知点A、B关于原点对称，所以B（1，-2）。

在教学中我们发现，部分学生不能主动画出图形，因此可以选择一些类似的比较函数值大小，利用对称性求点坐标等变式题目给学生练习，让学生体会解题时先画出图形，利用数形结合思想能直观地解决问题，让他们获得成功的体验，引导学生解题时养成规范画图的习惯。

三、在数学课堂教学中渗透转化思想

解决问题时，人的思维特点是化复杂为简单，化未知为已知，所以转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想。转化是解数学题的一种重要的思维方法，反比例函数中比例系数k的几何意义的教学就体现了转化思想的应用。

如图，过双曲线上任意一点M（x ， y）作x轴，y轴的垂线段ME、MF，设O为坐标原点，则矩形MEOF的面积为。即反比例函数中的比例系数k的绝对值表示过双曲线上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得的矩形的面积。同样道理，过双曲线上任意一点N作x轴垂线，垂直为点Q，则。

在与反比例函数有关的题型中，求图形面积时常用转化的思想。

例1.如图，点A是反比例函数（x<0）的图像上的一点，过点A作ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则ABCD 的面积为（ ）

A. 1 B. 3 C. 6 D.12

分析：过点A作AH⊥OB于点H，通过转化，可得□ABCD的面积等于矩形AHOD的面积=，根据反比例函数k的几何意义，知，故选（ C ）

例2.（2016包头）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函数（x<0）的图像经过点A，若，则k的值为______

分析：试着将△ABO的面积转化为与有关的图形，过点A作AM⊥x轴于点M，易得出△ABM的面积等于△ABO面积二分之一，所以，结合的几何意义，得=，又知此反比例函数图像在第二象限，所以。

为了利用转化思想解决与反比例函数有关的图形面积的题型，要引导学生对题目进行认真分析，抓住题目的条件，合理地将所求图形的面积转化为与 有关的矩形或者三角形的面积，同时巩固学生对学过图形的理解与应用水平。

四、在数学课堂教学中渗透方程思想

方程思想是一种重要的数学思想，通过分析题意，找到问题中隐藏的数量关系，由问题中的已知量和未知量之间的数量关系建立方程（组），需要的时候可以考虑引进参数列出方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决。

例1.若正比例函数与反比例函数（k≠0）的图像交于点A（m，1），则k的值是_____

分析：由题意知，点A既在正比例函数上，又在反比例函数图像上，所以以点A为桥梁得到方程组，从而解出k值，解本题的关键就是用到数学中的方程思想。

例2.（2014福州）如图，已知双曲线分别于x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线交于E、F两点.若AB=2EF，则k的值为（ ）

A. -1 B.1 C. D.

分析：解决本题，最重要的是要有方程思想。过点E作EN⊥y轴于点N，过点F作FM⊥x轴于点M，易知△AOB、△EFH都是等腰直角三角形，，所以，，设F（t，-t + 2），则E（t +1， -t +1），由反比例函数解析式的变式“”得，解得，所以，所以，故选D。

由例2给我们以启示，为了列出方程，必须熟练掌握常用图形的特征，配合使用相关知识，将反比例函数图像上的两个点坐标用含参數的式子表示出来，结合反比例函数的重要性质“xy=k”列出方程，从而将问题解决。

五、在数学课堂教学中渗透建模思想

在“反比例函数”这个章节里，教材第2节课探讨了如何利用反比例函数解决实际问题，解题的过程实际上就是在教学中渗透建模思想的过程，通过把实际问题用数学语言抽象概括，合理建立数学模型，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述。

例：蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用此电源时，电流I（单位：A）与电阻R（单位 ）之间的函数图像如图所示，如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

分析：观察图像，是双曲线在第一象限的一支，所以可以判断此函数是反比例函数，设，建立反比例函数模型，通过图像上一点A（9，4），求出比例系数U=9×4=36，从而得出这个函数的解析式。由知 ，结合图像得，用电器限制电流不得超过10 A，用电器的电阻应控制在的范围内。

在教材练习题中，通过建立反比例函数模型解决问题的题型较多。教学中，通过练习，让学生自主发现，两个变量满足什么关系时可以建立反比例函数模型？最后形成统一共识，这些题目都有一个共同点：两个变量的函数图像是双曲线或两个变量的积是一个常数。

在本章教学中，一方面要让学生熟悉反比例函数的定义，理解它的图像及特征，明确比例系数“k”的几何意义，掌握解与反比例函数有关的一些题型的技巧。另一方面，要以知识和技能为载体，适时加强数学思想的教学。

数学思想的形成是要有一个过程的，不可能一朝一夕就能形成，只有以问题为载体，让学生经历问题解决，在“悟”的过程中，才能理解数学思想的作用，才能对知识进行有效迁移。同时可以发现一个题目，一个问题中可能不仅仅存在一种数学思想，可能是两个或多个数学思想的结合，这就要求教师在教学中要注意引导，做好知识迁移，逐步让学生在学习中掌握数学思想，并能在解决问题的过程中，融会贯通，形成自己解决问题的思想和方法。

参考文献：

1.数学课程标准（2011年版）解读

2.义务教育教科书数学九年级下册