求“线性规划”最值题的几种方法

苏保明

(云南省蒙自市蒙自一中(新校区),云南 红河 661100)

求“线性规划”最值题的几种方法

苏保明

(云南省蒙自市蒙自一中(新校区),云南 红河 661100)

本文举例介绍了线性规划的另几种求解方法，可拓宽这类问题的解题思路.

线性规划；最值；方法

线性规划问题是新课标高考命题的重要内容之一，它常常以选择题或填空题的形式呈现，虽然题型平淡，但是解法众多.平时同学们在做这类问题时基本上是用课本中的常规方法进行求解.其实许多线性规划问题，只要同学们在解题时略加分析和思考，就能找到最佳的解题方法.本文举例介绍几种解题方法，希望能给同学们有所帮助.

方法一：反客为主

评注本题经过代入消元后转化为z与x的关系，再根据图象直接求z的最大值.这样做避免了平移求值带来的不必要的麻烦，使解题过程简洁明朗、通俗易懂.

方法二：相加消元法

(1)×4+(2)，得3≤3z≤12，即1≤z≤4，

所以z=2x-y的最大值是4，故填：4.

方法三：区间求值法

当x=1时，z取最小值，且zmin=1-1=0；

当x=3时，z取最大值，且zmax=3.

所以z=2x-y的最大值是3，故填：3.

方法四：待定系数法

解设x+3y=m(x+y)+n(x-y)，则

x+3y=mx+my+ny-nx=(m+n)x+(m-n)y，

即x+3y=2(x+y)-(x-y).

所以两式相加，得-6≤2(x+y)+(y-x)≤0，即-6≤x+3y≤0.

所以x+3y的值域是[-6,0].

评注首先要找到x+3y与x+y、x-y的相等关系，故可设x+3y=m(x+y)+n(x-y)，求出m和n的值即可求出x+3y的最小值与最大值.

方法五：交点坐标法

评注求绝对值的取值范围必须先求被绝对值的代数式的取值范围，才能确定绝对值的取值范围，而直接把边界线的交点代入绝对值求范围是错误的.

方法六：利用不等式的传递性

A.0 B.3 C.4 D.5

评注此法是首先设z=2x+y，然后经过代入消元、化归与转化的数学思想方法，把原不等式组中的x、y转化为z与x的关系式，再利用不等式的传递性转化为只含z的不等式组，并通过解含z的不等式组即可求出z=2x+y的最小值.

方法七：利用两点间的距离

解先画约束平面区域(如图2所示)，由图2可知，xgt;0,ygt;0.

评注此法是利用两点间的距离公式求约束区域内的动点到定点的最小距离，如何把x+y化为公式的结构是解决本题的关键.

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书(必修)数学4(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.

[责任编辑：杨惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0040-02

2017-07-01

苏保明(1966.2-),男；云南省红河州蒙自县人，高级教师，从事高中数学教学研究.