浅谈线性递推数列求通项问题

■安徽省合肥市第八中学高二(3 4)班 聂羽丞

浅谈线性递推数列求通项问题

■安徽省合肥市第八中学高二(3 4)班 聂羽丞

数列是高中数学的重要内容之一,因其形式多样,解法灵活,也是自主招生和数学竞赛考查的重点。本文讨论了线性递推数列求通项问题的一些常用解法,希望能给同学们在学习这部分知识的时候提供一些帮助。

一、齐次线性递推数列求通项

定理1:若x1,x2为递推关系an=p an-1+q an-2(n=2,3,…)的特征方程的两根,则:

其中A,B可由初始条件确定。

定理2:k阶常系数齐次线性递推数列an+k=α1an+k-1+α2an+k-2+…+αn-1ak+1+αnak的特征方程为+αn-1x+αn,该方程的全部根为x1(k1重根),x2(k2重根),…,xm(km重根),其中k1+k2+…+km=n且ki∈N*,则

以上我们找到了常系数齐次线性递推数列的一般解法,那么对于非齐次的情况又如何处理呢?

二、非齐次线性递推数列求通项

1.含关于n的多项式型问题

总结:解决含关于n的多项式的递推数列问题时,可将关于n的多项式合理拆分,从而得到等比数列。本方法对于解决该类问题具有一定的普遍性。拆分方式由待定系数法确定。

2.“齐次+常数”型问题

总结:写出相邻的递推式并做差,能得到常系数齐次线性递推数列,利用特征根法易于求解,这是该类问题的常用解法。

3.含根式型问题

这类题目通常有多种不同情况。

例3 已知数列{an},a1=1且an+1=

总结:递推公式中存在根式时难以处理,将根式换作某一新数列是一种常用方法;出现根式时的第二种常用方法就是直接平方,这种情况下能够转化为“齐次+常数”型问题,易于求解;解决这一类问题时,换元法与直接平方法各有所长,有时换元法一目了然,有时直接平方更为巧妙,但具体问题需具体对待。

4.一些特殊方法

总结:这一类问题没有通用解法,需要我们注意递推式的特点,同时还要活学活用其他数学知识。

(责任编辑 刘钟华)

编后语:在学习的过程中,你一定会遇到许多问题,也需要解决这些问题,而在解决问题的过程中,如果能深入一些、细致一些,就会有新的发现,把你的发现写出来就是一篇论文。希望同学们在学习过程中要善于发现和总结,同时也希望同学们把论文寄给我们。电子信箱:xuexifaxian@126.com。