函数知识中的误区警示

■陕西洋县中学 刘大鸣(特级教师)

函数知识中的误区警示

■陕西洋县中学 刘大鸣(特级教师)

本文汇集了函数的概念及性质 、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、函数与方程等知识中的易错题,剖析了出错的原因,给出了警示和易错点,希望能引起同学们的高度重视。

一、函数概念和性质应用中的误区警示

误区1——判断函数奇偶性时忽略定义域

从而可知函数f(x)为非奇非偶函数。

剖析:错解中只注意了f(-x)=±f(x)的探究,忽略了函数定义域的研究,由题意知自变量x满足即函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),定义域关于原点对称,在定义域下化简f(x)=易证f(-x)=-f(x),即函数为奇函数。

警示:与函数有关的问题必须遵循“定义域优先”的原则,研究函数的奇偶性,先求函数的定义域,在定义域关于原点对称的前提下,实施数学式子f(-x)=±f(x)的变形进行探究。

跟踪训练1 函数f(x)=l g(x+1)+l g(x-1)的奇偶性是( )。

A.奇函数 B.偶函数

C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数

易错点:忽略函数的定义域。

误区2——研究分式类函数的单调性时缺少分类意识例2 函数f(x)=x在(2,+∞)上x+a为减函数,则a的取值范围是____。

易错点:缺少分式类函数单调性的逆用。

误区3——抽象函数单调性证明中以特殊代替一般推理

例3 若函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时,f(x)＜0,f(1)=-,求证:f(x)在R上是减函数。

错解:令x=y=0,则2f(0)=f(0),所以f(0)=0。再令x=-1,y=1,则有f(-1)+f(1)=f(0)=0。又f(1)=-2,3

剖析:减函数的定义:对于定义域的子区间中的任意两个自变量x1,x2,当x1＜x2时,有f(x1)＞f(x2),不能取两个特殊值代替。设x1＞x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)+f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)。因为x＞0,f(x)＜0,而x1-x2＞0,所以f(x1-x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),因此f(x)在R上是减函数。

警示:证明或判断函数的单调性要从定义出发,作差后要注意差式的分解变形,合理使用其他题设条件,x＞0时f(x)＜1,我们由x2＞x1,得到x2-x1＞0,则f(x1-x2)＜1,然后要寻找其与f(x2)-f(x1)＞0的关系,所以要进行配凑。

跟踪训练3 定义在R上的恒为正数的函数f(x),当x＞0时,f(x)＞1,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y),证明函数f(x)为增函数。

易错点:忽略定义法证明推理中的合理变形。

正解:任取x1,x2∈R,x1＜x2,则x2-x1＞0。因为当x＞0时,f(x)＞1,所以f(x2-x1)＞ 1。 而f(x2-x1)＞1,又f(x1)＞0,所以f(x2)＞f(x1),所以函数f(x)为R上的增函数。

误区4——分段函数不等式求解忽略分类或每段的前提条件

警示:分段函数不等式求解,利用分类讨论思想,关键在于“对号入座”,即分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解不等式,注意取值范围的大前提,然后把两个不等式的解集并起来即可。

易错点:分段函数不等式求解忽略分类或每段的前提条件。

正解:因为x2≥0,所以f (x2)=x2。

因为f(x2)＞f(4-3x),所以x2＞4-3x,即x＜-4或x＞1,所以x＜-4或1＜x

二、二次函数和幂函数中的误区警示

误区5——形如二次函数的函数忽略二次项的系数为0的讨论

例5 如果函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4的图像恒在x轴下方,试求实数a的取值范围。

错解:要使函数f(x)的图像恒在x轴下方,只要抛物线开口向下,与x轴无交点,所解得-2＜a＜2。因此实数a的取值范围为(-2,2)。

剖析:错解忽略二次项的系数为0的讨论,误认为f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4为二次函数,此题在a=2时,f(x)=-4,图像也恒在x轴下方,满足题意,结合错解知实数a的取值范围是(-2,2]。

警示:在形如二次函数y=a x2+b x+c中,当a≠0时为二次函数,其图像为抛物线;当a=0,b≠0时为一次函数,其图像为直线。在处理此类问题时,应密切注意x2项的系数是否为0,若不能确定,应分类讨论。

跟踪训练5 函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1的图像与x轴只有一个交点,求实数m的取值范围。

易错点:忽略二次项的系数为0的讨论

正解:(1)当m-1=0,即m=1时,f(x)=4x-1与x轴只有一个交点,满足题意。

(2)当m-1≠0,即m≠1时,Δ=4(m+1)2-4×(-1 0)×(m-1)=0,解得m=0或m=-3。

误区6——二次函数最值问题未对对称轴和区间的位置讨论

例6 求函数f(x)=x2-4a x+1在区间[0,2]上的最大值和最小值。

错解:当x=0时,f(x)取得最小值f(0)=1;当x=2时,f(x)取得最大值。

剖析:因为函数的对称轴不确定,故需讨论对称轴与区间[0,2]的关系,并结合二次函数的单调性来解决问题。

(1)当2a＜0,即a＜0时,f(x)的图像开口向上,故f(x)在 0,2[ ]上递增,故有f(x)max=f2()=5-8a,f(x)min=f0()=1。(2)当0＜2a＜1,即0＜a＜时,f(x)的图像开口向上,故f(x)在 [0 ,2a]上递减,在 [2 a ,2]上递增,故有f(x)max=f(2)=5-8a,f(x)min=f(2a)=1-4a2。

的图像开口向上,故f(x)在区间[0,2a]上递减,在[2a,2]上递增,故有当x=2a时,f(x)取得最小值f(2a)=1-4a2;当x=0时,f(x)取得最大值f(0)=1。

(4)当2a＞2,即a＞1时,f(x)的图像开口向上,故f(x)在区间[0,2]上递减,故有x=0时,f(x)取得最大值f(0)=1;当x=2时,f(x)取得最小值f(2)=5-8a。

警示:二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。不论哪种类型,解题的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论。最值一般在区间的端点或顶点处取得。

跟踪训练6 如果函数f(x)=(x-1)2+1定义在区间t,t+1[ ]上,求f(x)的最小值。

易错点:求二次函数最值问题未对对称轴和区间的位置讨论。

正解:函数f(x)图像的对称轴为x=1。

(1)当t+1＜1,即t＜0时,f(x)min=f(t+1)=t2+1;

(2)当t＞1时,f(x)min=f(t)=t2-2t+2。

(3)当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,f(x)min=f(1)=1。

误区7——随意用判别式研究二次方程根的分布问题

例7 求方程f(x)=a x2+b x+c=0(a＞0)的两个根都大于1的等价条件。

错解:只要方程f(x)=a x2+b x+c=0(a＞0)对应的二次函数为f(x)=a x2+b x+c的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可,故需满足所以充要条件是

剖析:上述解法中,只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1,却忽视了最基本的前提条件,应让二次函数的图像与x轴有交点才行,即满足Δ≥0,故等价条件是

警示:等价转化是数学的重要思想方法之一,处理得当会收到意想不到的效果,但等价转化的前提是转化的等价性,反之会出现各种离奇的错误。

跟踪训练7 已知方程有且只有一个根在区间(0,1)内,那么实数m的取值范围为____。

易错点:随意用判别式研究二次方程根的分布问题。

正解:因为方程m x2-3x+1=0有且只有一个根在区间(0,1)内,所以函数y=m x2-3x+1的图像与x轴在(0,1)内有且只有一个交点,所以f(0)f(1)＜0或Δ=0,解得m＜2且m=

误区8——幂函数单调性应用中缺少分类

例8 若(m+1)4＜(3-2m)4,试求实数m的取值范围。

错解:由(m+1)4＜(3-2m)4和幂函数性质知,m+1＜3-2m,所以m＜。

剖析:错解中误认为m+1,3-2m都在[0,+∞)内,y=x4在[0,+∞)上单调递增导致漏解。此不等式可分类求解,若注意y=x4的图像关于y轴对称的特点,利用绝对值将问题转化为y=x4在(0,+∞)上的单调性问题可寻求简洁的思路。由幂函数y=x4的图像知此函数在(-∞,0)和(0,+∞)上不具有单调性,若分类讨论步骤较繁,把问题转化到一个单调区间上是关键。考虑当幂函数的指数为4时,于是有(m+1)4＜(3-2m)4

又因为幂函数y=x4在(0,+∞)上单调递增,所以解得m＜,或m＞4。

警示:研究幂函数时,先研究定义域,再利用对称性和单调性简化求解问题。本题巧妙运用转化思想解题,从而避免了分类讨论,使同学们的思维又一次得到深化与发展。解题过程中利用图像关于y轴对称的特点,将函数不等式转化为含绝对值不等式的解法,蕴含的这种“转化”的思想,一方面,拓宽了我们的解题思路,另一方面,体现了对知识的灵活应用能力。当然此题还可用分类讨论的方法解决,同学们不妨一试。

跟踪训练8 若(m+1)-1＜(3-2m)-1,则实数m的取值范围为____。

易错点:幂函数单调性应用中缺少分类。

(3)两个整体变量分别在(-∞,0)和(0,+∞)上,由图像知解得m＜-1。

三、指数和对数函数中的误区警示

误区9——换元法中忽视指数函数在区间上的值域

例9 函数f(x)=4x+2x+1+2(x≤0)的值域是____。

错解:f(x)=4x+2x+1+2=(2x)2+2·2x+2,令t=2x,则t＞0,且y=t2+2t+2=(t+1)2+1,当t∈(-1,+∞)时,f(t)是增函数,而t＞0,所以(0+1)2+1＜y,即2＜y。所以所求函数f(x)的值域为(2,+∞)。

剖析:利用4x=(2x)2的关系,不难想到本题中要将2x当作一个整体进行换元,转化得到一个新的一元二次函数,新的参数的取值范围缩小导致值域出错。

f(x)=4x+2x+1+2=(2x)2+2·2x+2(x＜0),令t=2x,则0＜t≤1,且y=t2+2t+2=(t+1)2+1,当t∈(-1,+∞)时,f(t)是增函数,而0＜t≤1,所以(0+1)2+1＜y≤(1+1)2+1,即2＜y≤5。所以所求函数f(x)的值域为(2,5]。

警示:在利用换元法求函数值域、最值时,经过换元,函数的定义域可能会发生变化。在运用换元法时,一定要注意换元后函数定义域为新变量对原变量的值域。

易错点:换元法中忽视指数函数在区间上的值域。

误区1 0——求对数的复合函数的单调区间忽视定义域

例1 0 函数y=l o g0.5(4+3x-x2)的单调递增区间是____。

错解1:因为外层函数为减函数,内层函数u=4+3x-x2的减区间为以原函数的增区间为

错解2:因为4+3x-x2＞0,函数定义域为 (- 1,4),又内层函数u=4+3x-x2在上为增函数,在函数,所以原函数的增区间为

剖析:错解1,忽视定义域问题;错解2,对复合函数单调性法则不熟练。

因为4+3x-x2＞0,函数定义域为(- 1,4),外层函数为减函数,内层函数u=4+3x-x2在上为增函数,在上为减函数,所以原函数的增区间为

警示:复合函数的单调区间,先求出它的定义域,再根据复合函数“同增异减”在定义域内确定其子区间。

跟踪训练1 0 函数f(x)=l n(4+3xx2)的单调递减区间是____。

易错点:求对数函数的单调性时忽略定义域。

正解:函数f(x)=l n(4+3x-x2)的定义域是(-1,4),令u(x)=-x2+3x+4=,其减区间为e＞1,所以函数f(x)的单调减区间为[2 3,4)。

(责任编辑 王福华)