处理“切”问题的两种方法

■浙江省天台中学高三(6)班 吴俊霖(指导教师:郑秋蝉)

处理“切”问题的两种方法

■浙江省天台中学高三(6)班 吴俊霖(指导教师:郑秋蝉)

解决圆锥曲线与切点、切线相关问题的方法有“方程法”和“导数法”两种,在具体问题中应该根据圆锥曲线方程的特征结合其他条件综合判断选择哪种方法求解更合适。

一、方法概括

设圆锥曲线方程为f(x,y)=0,切线方程为y=k x+b。

方程法:如果题中给出的方程是椭圆、双曲线的标准方程(同时含有x2、y2),那么就应该选用方程法。其主要思想是从方程组消去一个未知数(一般是消去y),剩下的是关于另一个未知数的方程,这个方程的二次项系数不能为0,那么由判别式Δ=0所确定的关于k、b的关系式,就是直线y=k x+b是切线所要满足的条件,对应的一元二次方程的解就是切点的坐标;切线的条数或切点的个数由判别式Δ=0来决定。

导数法:如果题中给出的方程是抛物线y=a x2或双曲线y=a x+等,那么就应该选用导数法。不管条件怎么复杂,这种方法的主要思想是先设好切点P(x0,y0),根据对曲线方程(实际是函数形式)的x进行求导,求出横坐标是x0时的导数值,这个导数值就是切线的斜率,写出切线方程,方程又符合题目中给出的另外条件,得出一个关于x0、y0的方程;再根据切点P(x0,y0)在已知曲线上,来确定关于x0,y0的另一个方程;然后将这两个方程组成方程组,解出切点,切线的条数、切点的个数由这个关于x0,y0的方程组来决定。

图1

二、两种方法的应用

(责任编辑 刘钟华)