基于“MKT理论”的初中数学教学实践与理解

谷晶晶

[摘 要] “MKT理论”指向学科知识与学科教学知识，是数学教学的重要指导理论. 在实际教学中，结合MKT理论对教学内容进行成分分析，并在实际教学中以MKT视角认识、分析教学过程，可以让教师在数学内容、学生之间搭建更好的认知桥梁，从而提高课堂教学的有效性.

[关键词] MKT理论；初中数学；教学实践；教学理解

MKT教学理论是Mathematical Knowledge for Teaching，意思是“面向教学的数学知识”，这一面向学科知识（SMK）与学科教学知识（PCK）的教学理论，最早由鲍耳提出，译至中国后受到中国教育理论界的高度重视. 其中一个重要原因，就是数学学科历来是中国基础教育界重要的支撑性学科，很多教育理论的提出与实践，均在数学学科中先行先试，同时数学基础教育对中西方先进教育理论也非常敏感，因此当关注学科知识与学科教学知识的理论同时映入数学教育者的视野时，其往往能够在实践中表现出一定的生命力——事实上，今天MKT理论对学科教学的影响早已超越了数学学科而指向几乎所有的学科，甚至是教师教育.

笔者作为一名普通的初中数学教师，更关注MKT理论在实际教学中的引领作用，因此采取了最为常见的研究范式——理论联系实际、经验加反思，进行了持续的思考与实践.

教学内容中的MKT成分解析

从MKT理论来看，该理论引领下的教学模型并不复杂，在认识到其由学科知识与学科教学知识组成的同时，还需要认识到学科知识又是由一般内容知识、专门内容知识、数学水准知识等三部分组成；而学科教学知识则是由内容与学生的知识、内容与教学的知识以及内容与课程的知识组成，通常情况下，将这些组成部分称之为“MKT成分”. 所以在以MKT理論指导教学的时候，一个重要的基础性工作，就是在该理论的指导下，分析教学内容中的MKT成分.

以苏教版初中数学九年级上册“等腰三角形的性质和判定”教学内容为例，从MKT成分分析的角度来看，其一般性内容知识就是作为数学知识形式存在的等腰三角形的性质与判定两个主要内容，其是面向学生的，常常被称之为“常识性的数学知识”，其以专业的数学表述呈现，如“等腰三角形的两个底角相等”，在这一表述中，“等腰三角形”是描述主体，“两个底角”是描述对象，“相等”是描述结果，多一字嫌多，少一字嫌少，充分体现了数学语言简洁性的特点；而专门内容知识则是指向教师的，说得更具体一点，是指向教师的教学逻辑与语言的，数学教师只有通过自己的逻辑与语言，才能在数学语言与学生认知之间搭建一座有效的桥梁. 一个简单的例子就是，初学“等腰三角形”的时候，只有结合等腰三角形的图形，让学生认识到何为“腰”，何为“等腰”，何为“底角”，才能引导学生形成清晰的等腰三角形表象，也只有以此为基础，“等腰三角形的两个底角相等”的关系才能建立；数学水准知识指向学术视角下的数学理解，说得通俗一点，就是对数学知识的理解程度，这个程度决定了课堂教学的高度. “等腰三角形”是生活中常见的图形，同时也蕴含着从生活实例抽象成数学模型的过程，基于这一过程去创设教学情境，往往能够体现数学本质.

在上面强调数学教学内容与学生认知的关系时，实际上已经体现了内容与学生的知识的意蕴，只有教师清晰地掌握学生的认知经验，才能提高教师在课堂上的“预见”能力，从而实现奥苏泊尔所说的“弄清学生已经知道了什么，然后据此进行教学”. 如学生对“等腰三角形”的认知，就是“性质”建立的基础，而“性质”又是“判定”的基础，理清基础关系，就成功地分析出了“内容与学生的知识”；内容与教学的知识，强调的是教师以自身的教学视角理解所需要教学的内容，如“等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合”是教师证明给学生看，还是让学生自己探究，就体现出了教师认知的不同视角；内容与课程的知识则是强调从课程的视角认识学科教学，这需要教师研究课程标准及其相关解读，以让自己的教学层次性更高一些.

MKT视角下有效的教学实践

实际上，根据上一点的阐述，相信同行已经明白了一点，那就是基于MKT理论的初中数学教学，只要在成分分析上做足了功夫，那教学的流程与细节就会把握得比较好. 因此，MKT成分分析实际上是教学的重要基础. 笔者尝试以MKT理论指导自己的教学，还是取得了丰富的认识的，此处以“直角三角形全等的判定”教学为例，选择其中两个教学环节来分别说明.

1. 教学环节一：“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”定理的证明

根据给出的命题，学生构思已知与求证的表述形式. 这里，需要学生以已有的“学科知识”（直角三角形中边与角的概念界定，全等的界定与判定方法的重现等）去衍生新的学科知识（HL），而教师则是利用自身的“专门内容知识”去引领不同层次的学生成功地调用已有的学科知识，比如当学生忽视了命题中的“对应相等”这一关键词时，教师可以基于学生已经画出的两个直角三角形图形，去引导其认识（实际上是回顾）何为对应相等；而对于无法将HL（斜边、直角边）与SAS（边角边）对应的学生，实际上只是需要捅破认知上的一层纸而已. 教师可以从学生思维迁移的角度，引导学生认识为何HL判定方法中没有A（角）的存在，进而迅速意识到直角三角形这个大前提的存在.

在这一教学环节中，教师一方面放手让学生根据已有命题自己组织“已知”与“求证”的内容，这是充分利用学生已有的学科知识，同时也是从“内容与学生的知识”角度，以自主学习的方式培养学生自组织数学知识的能力；而在证明的过程中，教师则用自身“内容与课程的知识”以及“专门内容知识”去确定教学方式（针对性的分层与引导），从而尽可能地让学生处于自我建构状态. 显然，这样的学习过程更利于学生对新学知识产生深刻认识.

2. 教学环节二：“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”定理的证明

这里最有意思的一个环节是起始环节，当教师将这个命题给学生时，学生感觉有些茫然，因为他们没有一下子认识到这个命题与所学的直角三角形有什么关系. 而笔者也发现这样的茫然其实是一个教学契机（这里其实就是内容与学生的知识、内容与教学的知识以及内容与课程的知识的体现）：既然感到茫然，那就让这个感觉持续一会儿. 于是笔者让学生根据命题自主描述已知与求证，而学生在一般内容知识的作用之下，自然会选择以作图的方式来表现命题. 在作图的过程中，当学生从一个任意锐角的角平分线上的任意一点作出两边的高的时候，不同层次的学生在此就有了不同的表现：数学意识强、数学理解能力强的学生，立即意识到了直角的存在，且能够立即发现两个直角三角形已经出现，而其他基础较弱、反应稍慢的学生，则专心于作图，很少在画图的过程中开始思考命题如何得以证实，因而也就难以迅速发现其中存在的直角三角形. 这实际上就是学生“专门内容知识”的缺失，自然也就是教学的另一个重点——“内容与学生的知识”.

在这个环节中，教师需要根据自身的“教学水准知识”去判断学生在自组织过程中的表现，进而把握学生的认知基础，从而为下一步教学奠定基础.

基于MKT理论的教学反思

MKT作为一个基础教育界比较推崇，且在一定范围内经过实践证实有效的理论，笔者在实践中形成的认识有三点.

第一，对于初中数学教学而言，MKT理论同时兼顾了学科知识与学科教学知识，这在有的理论侧重于学科、有的理论是无学科背景描述的背景下，显得弥足珍贵. 从这个角度讲，初中数学教师基于这一理论提升自己的教学水平，是比较有意义的选择.

第二，MKT理论在数学教学实践中的具体实施大体上可以分为三个阶段：一是根据学生的已有认知基础，创设情境；二是借助学生的生活经验（寻找生活实例）来促进学生认识数学、理解数学；三是知识体系的建构阶段，这一阶段强调在前两步的基础上，学生新的“学科知识”的生成——只有当知识成为体系的时候，新知识才能成功地纳入原有的知识体系. 这看起来是传统教学思路的描述，但实际上其中有着对学生一般内容知识的关注，有着教师对自身专门内容知识的内省，还有着对内容与学生、教学以及课程知识的研究与反思等. 这样的设计思路，对于教师理解数学及其教学，对于引导学生更好地建构数学知识来说，意义重大.

第三，虽然在上面两点的阐述中，笔者从MKT成分分析与两个教学环节的选择基础上进行了描述，但在实际教学中，MKT的有关成分实际上是密切联系的，因此实际教学还是应当注重整体性的把握.

总之，初中数学教学中借助MKT理论，可以很好地理解数学学科知识，提升对数学学科教学的理解，从而让课堂教学的高效化与学生学科核心素养的培养成为现实.endprint