活学活用 克服思维定势*——兼谈2017年浙江省数学高考解答题

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(台州市第一中学,浙江 台州 318000)

活学活用克服思维定势*
——兼谈2017年浙江省数学高考解答题

●洪昌强

(台州市第一中学,浙江 台州 318000)

2017 年浙江省数学高考解答题的题型似乎都比较熟悉，但解题方法灵活多样，尤其注重批判性思维的考查，要求考生活学活用，克服思维定势．

高考; 解答题; 思维定势

2017年是浙江省数学高考文理合卷首年，试卷设计在注重数学综合素养考查的同时,关注思维能力的层次性考查，试题比较性测试功能明显.试卷总体难度较近几年有所降低，但与全国或各省(市)卷相比较还具有一定的难度，尤其是解答题的第19，21，22题这3道题，多数考生反映失分较多(据评卷抽样统计：这3道题难度系数分别为0.6，0.37，0.2).为什么学生在这3道题上失分较多呢？导致失分的原因何在呢？笔者就此谈谈个人的一些见解.

1 向量法被先入为主

图1

例1如图1，已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

1)证明：CE∥平面PAB;

2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

(2017年浙江省数学高考试题第19题)

空间向量为解决立体几何问题提供了一种工具，当下的立体几何教学中，对空间的角和距离计算偏重于向量法.受思维的惯性作用,大多数学生选用了向量坐标法.如图1，“如何建立空间直角坐标系？怎样求点P，E的坐标？”这是解决问题的关键.根据条件，多数学生把原点选在AD的中点N，此时，空间几何能力较弱的学生错误地把点P当作z轴上的点进行处理.也有部分学生知道点P不在z轴上,但如何求出点P,E的坐标并不轻松.题目条件提供了“PC=AD=2DC=2CB”，“怎样将这个条件用好”，即“如何将已知条件PC的长度关系转化到求点P,E的坐标”,部分学生感到有一定难度.一些考生就因为这道题出乱，不仅在时间上耗损了不少，而且在心理上造成过度紧张，影响了全局得分.

在教学中由于过度强化了向量法的作用，几何法的应用被削弱，学生的解题思维易被坐标法“套”住.若对一种方法过于强化，个性思维遭到压抑,造成解题思路单一，尤其面临新情境下的问题,受原有条条框框影响,按老套路行事，无法实现对原有认识和方法的超越,从而感到束手无策，难以改变现状.在立体几何教学中，教师在内容的选择、题目的难度要求以及解题方法的指导等方面，如何把握几何综合法和向量坐标法的“度”，及怎样培养学生灵活运用这两种方法，这都是高中数学教师所面临的十分具有挑战性的课题.

2 二面角被隐退到幕后

四棱锥P-ABCD可以看成是由△PAD和直角梯形ABCD沿AD翻折而成的.翻折到什么位置,条件中没有直接告知二面角P-AD-C的大小,而是通过由PC=AD来求出.这样问题就缺少了二面角的背景,削弱了条件“PC=AD”在求直线CE与平面PBC所成角的作用,增大了解题难度.此题若把条件“PC=AD”换成“二面角P-AD-C为120°”，学生自然会想到先作出二面角的平面角.有了这个背景，不仅PC易求，而且更易想到把求点E到平面PBC的距离，转化为在△PNB中求点Q(或点N)到PB的距离.同样地，在使用向量法进行处理问题时，若有了二面角P-AD-C的平面角∠PNB的背景，则给求点P的坐标带来了很大方便.虽然新高考降低了求二面角的要求，但二面角是空间几何中面与面之间的一种重要的位置关系，空间几何的研究与二面角息息相关.本题由于条件没有直接提到二面角，而是让二面角隐退到幕后，部分学生对问题情境发生改变或表面上稍作变动感到陌生，知识联系发生断链，信息之间无法进行交互转换，最后导致解题思路出现受阻.

3 弦长公式被“弦”蒙住

图2

1)求直线AP斜率的取值范围；

2)求|AP|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省数学高考试题第21题)

4 向量数量积几何意义逆用被忽视

5 数与形被分离

解析几何是用代数方法研究几何，只不过研究工具是代数方法，问题的根源还是几何.若能充分利用几何的特性，数与形巧妙结合，解题往往会产生出奇制胜的功效.本题在垂直的环境下，研究两条线段长度之积.“垂直”是几何中最重要的数学核心概念之一，其内涵十分丰富，随知识的增长对其理解也应不断深入.根据答题情况来看，学生对垂直的理解还是比较浅薄.如何更有效地落实数学核心概念教学，是每位数学教师值得探究的课题.

6 逆向思维被削弱

例3已知数列{xn}满足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*)，证明：当n∈N*时，

1) 0

(2017年浙江省数学高考试题第22题)

导致本题失分的原因是多方面的,其主要原因是：新的问题情境带来的紧张心理.解答题的压轴题难度虽然较大，但第1)小题对中等以上水平的学生来说还是可以拿分的.本题所给出的递推关系xn=xn+1+ln(1+xn+1)，与平时所做过的数列递推题目的类型xn+1=f(xn)，存在一定差距，增加了陌生感，再加上要把xn=xn+1+ln(1+xn+1)转化为xn+1=f(xn)又有一定的困难，难免会产生解题畏惧心理.另外，学生缺乏逆向思维训练.要从xn>0推出xn+1>0,即由xn+1+ln(1+xn+1)>0得到xn+1>0.若从正向去想,不易直接推出所要的结论.此时需要变换角度，换个方法思考，用反证法可使问题变简单，从而轻松得到结果.

即证f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)在[0，1)上单调递增，且f(0)=0.

由于此式结构比较复杂，xn与xn+1“纠缠”在一起，较难得出xn与xn+1有“好”的关系.采用以退求进，先对式子变形，得

即

7 结束语

这3道试题表面上看题型似乎都比较熟悉，但解题思维方法灵活多样，需要学生对题目条件和结论有较深刻理性的认识，才能准确理解题意、正确判断解题方向.数学高考关注了发散性、批判性思维的检测，体现了试题对高层次理性思维和创新思维的考查,让凭借题海战术或重复操练学数学的考生在高考中占不了便宜，走老套路会吃亏.这就是2017年浙江试卷的亮点之一.同时,教师要转变教学观念，学生的成长需要经历过程，而不是依靠教师就能把知识送给他们.教学中应注重引导学生自主学习，活学活用,鼓励学生敢于质疑，大胆探索问题，标新立异，培养学生创造性思考和独立解决问题的能力，切忌让学生盲目跟着老师，避免学生的思维被教师控制.

2017-09-01

洪昌强(1963-)，男，浙江台州人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

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