极小子群半正规的有限群

高建玲

(大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009)

极小子群半正规的有限群

高建玲

(大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009)

本文分析了极小子群半正规的有限群，通过对有限群G的阶的素因子分情况讨论，应用极小反例法与内p-幂零群的结构相结合，给出了有限群是p-幂零的几个条件。

半正规子群；p-幂零群；p阶子群

苏向盈[1]在1988年引入了半正规的概念，得到了有限群超可解性的若干结果.王品超[2]在苏向盈的基础上又得到了一系列新的结果.王品超，杨兆兴[3]利用子群的半正规性，得到了有限群成为可解群与超可解群的条件及超可解又内幂零群的结构，并推广了Ito定理.曾凡辉，李世荣[4]利用某些半正规或c-正规子群刻画有限群结构，得到有限群超可解的若干充分条件.

近年来，借助极小子群性质来研究有限群结构的也有大量结果.例如任永才[5]利用每个素数阶子群和4阶循环子群在G中拟正规来研究有限群，讨论了极大子群是PQN-群的有限群的结构，并确定了2-极大子群是PQN-群的有限非Abel单群.薛瑞，王品超[6]利用极小子群的弱c-正规性来研究群的结构，得到了有限群超可解的一些充分条件.王丽芳[7]借助素数阶子群和4阶循环子群的s-半置换性得到了幂零群的若干充分条件.

1 预备知识

定义1 群G的子群A称为在G中半正规，若存在子群B，满足G=AB，且对任一B1

性质2[1]若子群A在G中半正规，则对∀x∈G，Ax在G中半正规且SG(Ax)=SG(A).若B∈SG(A)，则对∀y∈G，By∈SG(A).

引理1[8]若p是最小素因子，P∈Sylp(G)，且P循环，则G有正规p-补.

2 主要结果

定理1 若G的每个2阶与4阶循环子群在G中半正规，则G是2-幂零群.

可以应用痕迹检验方法检验油漆附着物，在发生多车碰撞交通事故的情况下，可以对同一部位印压、刮擦痕上的油漆附着物进行检验，从而明确碰撞顺序。具体而言，交通事故往往发生于瞬间，车辆相互作用力较大，车表面在外力的相互作用下容易出现破损、变形等情况。车辆表面往往会具有装饰、保护功能的漆膜，因外力作用可能发生脱落、破损等状况，遗落在其它相关车辆表面。基于此，当发生多车碰撞的事故时，以着力点为中心，进行痕迹检验，对油漆附着情况进行分析，即最上层所附着的油漆，为车辆最后碰撞所留，依次展开分析，有助于交通事故处理人员判断车辆碰撞顺序。

证明 取G是极小反例.

任取H

可见，极小反例不存在，所以G是2-幂零群.

定理2 设P∈Syl2(G)，若P是交换群，且P的所有2阶子群在G中半正规，则G是2-幂零群.

证明 取G是极小反例.

由性质1(1)知，定理2的条件是子群遗传的，故G的所有真子群是2-幂零群，从而G是内2-幂零群.由文献[10]Ⅷ的定理3.4可知：

(ⅱ)如果P为非交换群，则Z(P)=Φ(P)=P′；如果P为交换群，则P为初等交换群.

由题设P是交换群，所以P是初等交换群，从而exp(P)=2.任取P的任一非单位元x，则o(x)=2.由题设存在B≤G，使得G=〈x〉B，且对任一B1

可见，极小反例不存在，所以G是2-幂零群.

证明 取G是极小反例.

由性质1(1)知，定理3的条件是子群遗传的，故G的每个真子群为p-幂零群，从而G为内p-幂零群，由文献[10]Ⅷ的定理3.4可知

(ⅰ)G=GpGq，其中Gp和Gq分别为G的p-Sylow子群和q-Sylow子群，Gq循环；

(ⅱ)当p=2时，exp(Gp)≤4；当p>2时，exp(Gp)=p.

可见，极小反例不存在，所以G是p-幂零群.

推论1 设p是最小素因子且p>2.若G的所有p阶子群在G中半正规，则G是p-幂零群.

证明 任取x∈G,x≠1，且xp=1.以下分两种情形讨论：

(ⅰ)若〈x〉=Gp，由引理2可知G为p-幂零群；

(ⅱ)若〈x〉

可见，G为p-幂零群.

[1]苏向盈.有限群的半正规子群[J].数学杂志,1988(1):5-9.

[2]王品超.超可解群的若干充分条件[J].数学学报,1990(4):480-485.

[3]王品超,杨兆兴.有限群的某些定理[J].数学进展,1995(6):547-549.

[4]曾凡辉,李世荣.半正规、C-正规对群超可解性的影响[J].广西科学,2003(3):161-164,168.

[5]任永才.二次极大子群中极小子群和4阶循环子群拟正规的有限单群[J].数学学报,1990(6):798-803.

[6]薛瑞,王品超.有限群超可解的若干充分条件[J].扬州大学学报,2005(4):9-11,19.

[7]王丽芳.s-半置换子群对群的幂零性的影响[J].山西师范大学学报,2006(4):6-9.

[8]徐明曜.有限群导引(上)[M].北京:科学出版社,1999.

[9]韦华全.子群特性与有限群结构[D].广州:中山大学,2006.

[10]徐明曜,黄建华,李慧陵,等.有限群导引(下)[M].北京:科学出版社,2001.

FiniteGroupsWithSemi-normalMinimalSubgroups

GAO Jian-ling

(School of Mathematics and Computer Sciences, Datong University, Datong Shanxi 037009, China)

This paper analyses finite groups whose minimal subgroups are semi-normal. By discussing the prime factors of the order of finite groups and combining the minimal counter-example with the structure of innerp-nilpotent groups, we give some conditions that finite groups arep-nilpotent groups.

semi-normal subgroups;p-nilpotent groups; subgroups of orderp

O152.1

A

2095-7602(2017)10-0004-03

2017-03-31

高建玲(1981- )，女，讲师，硕士，从事群论研究。