数学表征概念对初中教学的启示

陈燕

[摘 要] 无论是课程改革，还是核心素养，其对教学的作用的一个基本支撑点，是学生对学科知识的有效学习. 表征作为一个基本的认知心理学概论，用以描述学生的学习过程. 在初中数学教学中，利用数学表征这一概念，可以清晰地厘清学生的学习过程，从而对理解课程改革的理念与培养核心素养奠定基础.

[关键词] 初中数学；表征；数学表征

将十几年前推行的课程改革，与今天的核心素养概念进行对比，可以发现核心素养作为一个具有高度凝练的概念，其在强调培养学生必备品格与关键能力的时候，更强调一个隐性的过程，那就是必备品格与关键能力的形成过程. 对于初中数学教学而言，必备品格作为面向情感、道德的要素，其形成于学生的具体学习过程中，而从当前评价体系来说，关键能力则是更为重要的教学研究着力点. 在数学视域中，关键能力指向很多，对其进行解构并寻找培养途径可能没有必要，而从学生的知识建构角度来考虑教学的有效性可能更为关键. 经由十多年的课程改革，我们在研究学生的数学学习心理时，接触到一个重要的概念，那就是“数学表征”，笔者发现，学生的数学表征水平往往代表着其数学知识建构的水平，而教师如果着力于促进学生的数学表征能力，那数学学科的核心素养往往可以自然形成. 从这个角度讲，研究数学表征对于初中数学教学来说，极有意义！

数学表征的基本含义

数学表征是表征的下位概念. 表征是认知心理学中的一个基本概念，用以描述学生在学习过程中大脑对信息的加工过程. 也就是说，表征并不是字面上的表示学生的学习结果，而是表示学习过程的，尤其是用来表示知识在学生的大脑中是如何被建構出来的过程的. 在这样的理解中，表征被赋予了信息加工与建构主义学习理论的观点. 作为表征的下位概念，数学表征是指对数学概念及其关系的信息加工过程，其指向学生大脑对数学信息进行加工的过程，研究重点是学生如何表征所学习到的数学知识. 初中生在学习数学的过程中，由于思维方式的不同，其对数学知识的加工往往有所不同，这就决定了即使是同样的学习过程，不同学生个体的学习所得并不完全相同，这种表征的差异性，是学生学习差异性的重要原因. 学习心理研究成果指出，学生在学习的过程中对所学知识表征的形式越丰富，那所学的知识也就越牢固，运用起来也就越得心应手. 而表征形式丰富与否，实际上也反映了学生的表征能力.

举个例子，学生进入初中之后要学的第一个概念是“有理数”，其中正负数的概念学生在小学已经初有涉猎，思维加工的难度不大，而另一个概念却容易被教师所忽视，那就是“数轴”. 作为一个基本概念，数轴在教师的思维中再简单不过，用一个实例略加引导，数轴的概念就形成了. 但对于学生来说，其思维加工的过程是不是也是这么简单呢？或者说是不是如教师所想象的这般线性呢？答案恐非如此. 因为笔者在教学中常常遇到这样一个问题：不少学生在数轴相关的表征过程中会出现一些匪夷所思的问题. 比如，有学生在很长一段时间之后都不知道为什么要学习数轴这一概念；也有学生对数轴的理解比较机械，他们不知道数轴的来龙去脉；还有学生对利用数轴解决实际问题时的正负确定表现混乱……种种现象表明，相当一部分学生对数轴这一信息加工的过程表征是不清晰的. 由于表征的间接性，教师只能根据学生的学习表现来推测学生的内部表征，而无法直接观测学生的内部表征过程，因此，可以断定还有未曾被发现的表征困难.

促进学生的数学表征

在对包括“数轴”在内的多个数学概念及规律的研究中，笔者发现一个鲜明的对比，那就是如果学生对某个数学概念运用娴熟，对某个数学关系理解顺畅，那这个学生对相关概念与数学关系的表征就是有效的. 因此，培养学生的数学表征能力，促进学生有效的数学表征，就成为数学教师需要重点关注的内容. 基于笔者有限的实践经验，笔者梳理了如下两点供同行参考.

其一，赋予学生自主学习的机会. 自主学习是新课程改革提出的重要的学习方式，而十多年之后回过头来再思考这一学习方式的时候，笔者发现对其推崇的原因更多的都是来自于专家的说教，而不是来源于对学生学习过程的关注. 而从数学表征的角度来看，学生自主学习时，在自主学习的过程中，学生的表征意识会被唤醒，表征需要会被激活，他们会主动地激活原有的知识记忆，主动地建构数学理解，而在此过程中所生成的一些朴素的概念，常常可以成为数学概念形成的坚实基础（而在传统教学中，教师往往拒绝这些朴素概念）.

比如，在“数轴”的教学设计中，教师给出具体的问题情境（如一条路上的汽车站牌、树木等，直接给出“用图表示情境”的问题）后，让学生自主解决这一问题. 既然是学生自主学习的过程，那教师的干预就要尽可能少，此过程允许学生出错，允许学生自己发明概念（比如有学生用“正、反”或“左、右”表示两个不同的方向），待学生思维中有了一个完整的关于数轴的表象时，教师再提出相关的概念，那数轴的形象就完整了.

其二，赋予学生自主表达的机会. 自主表达似乎是区域课程改革中强调的一个概念，自从某些地域性的课程改革被媒体放大后，笔者发现其中有一个共性，即强调学生的自主表达. 尽管这些区域课程改革还有不少争议，但笔者发现让学生在学习的过程中学会表达，对于数学知识的表征来说确实非常有益. 让学生表达，说得通俗一点，就是让学生将自己的思考过程“说出来”，这是一个用生活语言和数学语言表征自己数学知识建构与数学理解的过程. 仔细分析这一过程，其实可以发现其与数学学科发展的逻辑相通——数学的发展，即一个数学研究的过程不断地用数学语言描述出来的过程. 让学生表达时，可以“逼”着学生去完成数学语言的组织与数学逻辑关系的联结. 比如，学生在“数轴”概念的构建过程中，通过表达会发现，不同学生用不同的语言（生活语言）描述自己所理解的方向不同. 那如何用一个统一的概括性语言呢？于是“正、负”就取代了“左、右”与“正、反”，但学生并不会因为这种语言的替代而心有遗憾，因为他们会发现不同语言背后的内涵是一样的. 再如，后来到了“有理数的加法”这一课的教学中，在利用数轴寻找有理数的加法规则时，学生能够顺利地借助数轴概念构建过程中形成的数学语言，顺利地表达自己所理解的5+3、（-5）+（-3）等，这种能力的迁移，可以反证此前数轴概念教学中学生表征的成功.

综合以上两点可以发现，培养学生表征能力的关键，在于学生在学习过程中自主性的发挥.

数学表征与核心素养

义务教育阶段的数学学科核心素养到目前为止还没有明确的界定，但根据高中数学的六个核心概念，与《义务教育数学课程标准》的十个核心概念可以管窥一二. 从数感的建立到符号意识的形成，从空间观念的建构到几何直观的培养，从数据分析观念的建立到运算能力的培养，从推理能力的训练到模型思想的形成，从应用意识的强调到创新意识的激活，可以发现这十个概念可以作为对数学学科核心素养的有效概括，而在这其中，学生的数学表征又起着非常重要的作用.

从理论上的逻辑关系来看，这十个核心概念都指向数学学习的外在体现，即通过数学学习之后，学生在这十个方面要有所进益. 而数学表征作为对数学学习过程的有效表达，客观上可以理解为核心素养的支柱. 从实践的角度来看，这十个核心概念实际上只是学生学习过程的终极体现. 只有经过有效的学习，才谈得上数感、符号意义及其他，而这个过程是由什么来表述的呢？显然，数学表征是一个有效的衡量依据.

仍然可以通过一例来说明，在“从算式到方程”这一内容的学习中，同一个问题既可由算术方法来解决，也可由含有未知数的等式来解决，这两种方法之间有什么联系，有什么区别，哪种方法更好……这些问题就成为本课教学的重点，也是阐释“从算式到方程”中“到”字的含义. “到”是一个过程，既是“算式”向“方程”过渡的过程，更是学生认知发展的过程. 在此之前，学生习惯以算式解决问题，而在此之后，意味着方程成为解决此类问题的第一选择，这是认知方式的递进. 从核心素养的角度来看，有符号意识的培养——方程在解决问题过程中的“正式使用”，意味着学生思维向“x”的转变，也意味着问题表征方式的根本性转变，从此之后，学生解决复杂问题几乎是“言必称x”……从这个角度讲，核心素养不是一个空洞的概念，其就是一个实实在在的学生对数学学习表征不断递进的过程.

“为表征而教”是笔者在研究数学表征中的一个重要认识，总体而言，还是感觉有道理的. 再好的“教”也是为了促进学生的表征，一个数学概念或规律，只有被学生有效表征了，才能真正成为学生的知识，学生的数学核心素养培养也才会有一个坚实的基础.endprint