学会逆向思考，让学习事半功倍

杨马荣

(云南省曲靖市富源县胜境街道第一中学，云南 曲靖 655500)

学会逆向思考，让学习事半功倍

杨马荣

(云南省曲靖市富源县胜境街道第一中学，云南 曲靖 655500)

在初中数学中，逆向思维非常重要，在学生们的学习过程中会遇到一些题目，这些题目看起来是不难，但是会感到无从下手，即使会做也要耗费大量时间.但是如果学生们能够熟练运用逆向思维，做到事半功倍会是一件轻而易举的事情.

化简为繁；反向推理；正难则反

逆向思维是初中教学过程中的难点，逆向思维的教学需要受到我们老师的高度关注.许多题目正面解决往往并不可行，耗费了时间却无法真正解决问题，而且一些证明题直接证明对于学生也有难度，而通过逆向思考，不但可以大大节省时间，还能明晰学生的解题思路，只要花费很少的时间就能解决问题，真正做到事半功倍.

一、化简为繁，巧妙化简

对于一些分式化简的题目，直接地化简有时候会非常繁琐，用常规的方法很难做出结果，但是如果此时根据实际题目，巧用逆向思维，往往会有意想不到的效果.

点拨对于本例，如果不能根据式子对1进行转化，即使花费大量时间，也不能得到正确的结果，本题的关键在于“1”的妙用，进行反向思考，化简为繁，向后退一步的目的是为了迈出更大的一步.当然化简中的反向思考也不仅仅局限于此，其它的数字，其它的式子也都可以反向思考，而这就需要细心观察，做好积累.

二、反向推理，巧妙证明

对于平面几何的证明题，一直是学生学习过程中的老大难问题，究其原因，学生的熟练程度固然是一个方面，另一方面就是学生对于反向推理比较陌生.如果学生能够掌握反向推理，根据所给的结论进行逆向推理，许多看似无法下手的证明题便会迎刃而解.

例2 如图，AB=AD，CB=CD,E、F分别为AB、AD的中点.求证：CE=CF.

解析本题看似条件充足，但是细看之后便会感觉无从下手，题干中所给的条件似乎无法联系起来，此时不妨反其道而行，从所要证明的结论入手，进行反向推理，然后可以发现题干中各个条件之间的联系.

根据结论CE=CF，可以考虑什么条件下结论会成立，而根据已知条件CB=CD，BE=DF，自然而然的应该知道△DFC≌△BEC，我们继续反推，要想△DFC≌△BEC这一条件成立，要满足什么条件呢？根据已知条件，已经有两条边相等，需证明∠B=∠D，要想证明∠B=∠D，则可证明△ABC≌△ADC，我们可以添加辅助线AC，三边相等，易得△ABC≌△ADC，然后剩下来的可以依次推倒，在此不再赘述.

点评在本例中，通过将所要证明的结论当作已知条件，进行反向推理，这样做在推理过程中可以做到思路清晰，按部就班，对于此类证明题是很好的解决方法.学生掌握好反向推理，懂得逆向思维之后，对于此类平面证明题必然会游刃有余，不再慌乱.

三、正难则反，巧解实根

学生在初中数学学习的过程中，经常会遇到一些问题，这些问题如果直接求解会有许多种情况需要考虑，需要耗费很多时间，如果正面求解会使得学生本就宝贵的时间更加匮乏.这种情况下不妨从问题的反面入手，通过仔细阅读题目，找到问题的反面，也许求解过程会容易许多，能够事半功倍.

例3 假设一下三个方程x2-2mx+m2-m=0，x2-(4m-1)+4m2+m=0和4x2-(12m+4)x+9m2+8m+12=0中至少有一个方程有实根，求m的范围.

解析题干中“至少有一个方程有实根”，这就会牵扯到很多情况，是哪一个方程呢？有几个方程呢？有实根的方程是有几个实根呢？如果将那些情况都一一考虑，既耗费大量时间，又会容易做错，笔者认为这种方法不可行，违背了数学思想中所追求的简洁.此时，如果我们从逆向思考，“至少有一个实根”它的反面不就是“一个实根也没有”，故我们只需考虑“一个实根也没有”的情况，然后在根据结果求出“至少有一个实根”条件下m的范围.

假设题中三个方程都没有实根，那么

点拨在本例中，通过考虑问题的另一面，使得问题的解决容易许多.笔者认为，老师应当在学生学习过程中提醒学生注意“至少”、“只有”等一些词语，这些词语的出现往往就意味着需要用到反向思维，学生们如果能注意到这一点，往往会少走许多弯路，节省本就宝贵的时间.

本文通过三个例子，论述了逆向思考的一些应用，逆向思考在初中数学中应用比较广泛.要想训练学生的逆向思考能力，需要老师们的不断努力，从日常的教学工作中总结、归纳和升华，让学生们全方位地感受逆向思维，掌握逆向思维，让学习事半功倍.

[1]赵春祥.补集思想在集合中的应用[J].中学生数理化,2013(07).

[2]韩承昀.怎么证明至少有一个方程有(无)实根[J].中学数学杂志,2013(03).

G632

A

1008-0333(2017)23-0025-02

2017-07-01

杨马荣(1980.4-)，男，云南曲靖人，中学高级教师，大学本科，初中数学教学.

[责任编辑李克柏]