圆来是你——识别基本图形，突破圆综合

何丽晶

(北京市文汇中学，北京 100022)

圆来是你
——识别基本图形，突破圆综合

何丽晶

(北京市文汇中学，北京 100022)

初三几何《圆》这一章属于几何的提高阶段，要求学生综合运用前面所学过的知识，解决问题.圆通常作为背景图形，要用到圆的相关定义，定理，掌握一些辅助线的基本做法.同时，《圆》这一章作为几何的综合章节，会把以前学过的其它章节融入其中，使得圆的问题更加综合，更加复杂，也使得很多学生束手无策，望圆兴叹.如何解决这一问题呢，笔者通过对大量初三模拟题，中考题的研究，发现其中不乏一些解题的技巧和规律，下面将逐一探讨.

圆；做法；技巧

圆之所以难，在于图形复杂.所以要破解圆，最主要的是要发现其中的核心图形，基本图形.抓住这个牛鼻子，圆的问题就迎刃而解了.本文探讨了圆中的基本模型.

一、垂径定理模型

垂径定理定理是圆中重要定理.其定理和推论可概括为①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；知二推三.由半径，弦心距，半弦长组成基本量三角形，如图1，在这个直三角形中可应用勾股定理.在解题中给出弦长或给出弦心距时，要注意到这个垂径定理模型的应用.

例1 如图2，已知：AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.求证：CG是⊙O的切线.

图1图2

分析要证CG是⊙O的切线，需连接OC,证明∠GCO=90°.题中给出C是劣弧AE的中点，由垂径定理知OC满足条件过圆心，平分劣弧.所以OC⊥AE.再由CG∥AE,可知∠GCO=90°，此题得证.

二、平行线相似模型(A字模型)

图3图4

例2 如图4，AB是⊙O的直径.半径OD垂直弦AC于点E,F是BA延长线上一点，∠CDB=∠BFD.

(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明； (2)若AB=10,AC=8，求DF的长.

解析(1)∵∠CDB=∠CAB,∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD.∴AC∥DF.又由于OD⊥AC，可得∠FDO=90°,即DF与⊙O相切.

(2)由(1)问知AC∥DF,而DF在由上述平行线形成的A型相似中，所以如果知道这里的其它线段AE,EO,就可以由相似的比例关系，求出DF.

三、双垂模型

在圆中，根据圆的性质，直径所对的圆周角是直角，切线垂直于过切点的半径.圆中经常会有垂直条件，因此在圆中双垂模型(两个垂直条件)如图5，得到的线段或角的关系有着广泛的应用.

图5图6

例3 已知如图10，在ΔABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且AD=CD.

(1)求证：AB=BC；

(2)过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，且CF=CD，求sin∠CAE的值.

解析(1)由于AB为直径，所以∠ADB=90°，且AD=CD，由垂直平分线的性质知AB=BC.

总之，对于圆的综合题，是初中几何学习的重点，也是难点.方法灵活多样，需要我们在夯实基本定义定理的基础上多多感受和总结.如果能够在复杂的图形背景中识别出这些常见的几何模型，将会对圆的综合能力提高有很大帮助，希望本文这些归纳能对你的学习有所裨益，有柳暗花明之感，“圆”来是你.

[1]左文慧.浅析初中数学中圆的解题方法[J].数学学习与研究,2016(10)：103.

[2]崔枫,鲍俊林.中学数学几何课教学模式探讨[J].中学教学参考,2013(2)：28.

G632

A

1008-0333(2017)23-0022-02

2017-07-01

何丽晶(1981.3-), 女, 黑龙江省佳木斯市,北京科技大学硕士，中学一级 ,从事应用数学研究.

[责任编辑李克柏]