圆来是你
——识别基本图形,突破圆综合

2017-10-20 07:36何丽晶
数理化解题研究 2017年23期
关键词:平分切线定理

何丽晶

(北京市文汇中学,北京 100022)

圆来是你
——识别基本图形,突破圆综合

何丽晶

(北京市文汇中学,北京 100022)

初三几何《圆》这一章属于几何的提高阶段,要求学生综合运用前面所学过的知识,解决问题.圆通常作为背景图形,要用到圆的相关定义,定理,掌握一些辅助线的基本做法.同时,《圆》这一章作为几何的综合章节,会把以前学过的其它章节融入其中,使得圆的问题更加综合,更加复杂,也使得很多学生束手无策,望圆兴叹.如何解决这一问题呢,笔者通过对大量初三模拟题,中考题的研究,发现其中不乏一些解题的技巧和规律,下面将逐一探讨.

圆;做法;技巧

圆之所以难,在于图形复杂.所以要破解圆,最主要的是要发现其中的核心图形,基本图形.抓住这个牛鼻子,圆的问题就迎刃而解了.本文探讨了圆中的基本模型.

一、垂径定理模型

垂径定理定理是圆中重要定理.其定理和推论可概括为①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧;知二推三.由半径,弦心距,半弦长组成基本量三角形,如图1,在这个直三角形中可应用勾股定理.在解题中给出弦长或给出弦心距时,要注意到这个垂径定理模型的应用.

例1 如图2,已知:AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.求证:CG是⊙O的切线.

图1图2

分析要证CG是⊙O的切线,需连接OC,证明∠GCO=90°.题中给出C是劣弧AE的中点,由垂径定理知OC满足条件过圆心,平分劣弧.所以OC⊥AE.再由CG∥AE,可知∠GCO=90°,此题得证.

二、平行线相似模型(A字模型)

图3图4

例2 如图4,AB是⊙O的直径.半径OD垂直弦AC于点E,F是BA延长线上一点,∠CDB=∠BFD.

(1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明; (2)若AB=10,AC=8,求DF的长.

解析(1)∵∠CDB=∠CAB,∠CDB=∠BFD,∴∠CAB=∠BFD.∴AC∥DF.又由于OD⊥AC,可得∠FDO=90°,即DF与⊙O相切.

(2)由(1)问知AC∥DF,而DF在由上述平行线形成的A型相似中,所以如果知道这里的其它线段AE,EO,就可以由相似的比例关系,求出DF.

三、双垂模型

在圆中,根据圆的性质,直径所对的圆周角是直角,切线垂直于过切点的半径.圆中经常会有垂直条件,因此在圆中双垂模型(两个垂直条件)如图5,得到的线段或角的关系有着广泛的应用.

图5图6

例3 已知如图10,在ΔABC中,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,且AD=CD.

(1)求证:AB=BC;

(2)过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F,且CF=CD,求sin∠CAE的值.

解析(1)由于AB为直径,所以∠ADB=90°,且AD=CD,由垂直平分线的性质知AB=BC.

总之,对于圆的综合题,是初中几何学习的重点,也是难点.方法灵活多样,需要我们在夯实基本定义定理的基础上多多感受和总结.如果能够在复杂的图形背景中识别出这些常见的几何模型,将会对圆的综合能力提高有很大帮助,希望本文这些归纳能对你的学习有所裨益,有柳暗花明之感,“圆”来是你.

[1]左文慧.浅析初中数学中圆的解题方法[J].数学学习与研究,2016(10):103.

[2]崔枫,鲍俊林.中学数学几何课教学模式探讨[J].中学教学参考,2013(2):28.

G632

A

1008-0333(2017)23-0022-02

2017-07-01

何丽晶(1981.3-), 女, 黑龙江省佳木斯市,北京科技大学硕士,中学一级 ,从事应用数学研究.

[责任编辑李克柏]

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