以课例点评谈数学核心素养的培育*

☉安徽省阜阳市太和中学 岳 峻

☉安徽省教育科学研究院数学教研所 李院德

以课例点评谈数学核心素养的培育*

☉安徽省阜阳市太和中学 岳 峻

☉安徽省教育科学研究院数学教研所 李院德

某中学今年举行了中青年教师优质课大赛，笔者结合参赛数学教师的课例点评，对如何理解教材、理解教学、理解技术、理解数学，如何培育学生的数学核心素养谈谈自己的观点，与诸位同行交流.

一、提升理解教材的悟性

案例（一）双曲线的标准方程

1.引入

教师甲借助于多媒体播放网络歌曲《悲伤双曲线》的片断引发学生了解双曲线的兴趣，然后借助于几何画板设计了一个动画引入双曲线：

圆F1与圆F2的半径相同，点P是圆F1上的动点，线段PF2的垂直平分线与PF1的延长线交于M，拖动点P时，请观察点M的运动轨迹是什么？（如图1所示）改变两圆的半径的大小呢？（如图2所示）

图1

图2

2.设计初衷

教师甲：教材的拉链实验活动，太普通，太接近我们的生活，没有新意，为此，不拘泥于教材的“陈旧”的拉链实践活动的设置，利用多媒体技术创新地设计了一个动画引入双曲线的定义.

3.反思

本单元教材设置的引入的第一个环节是：“思考：我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么呢？”这个环节的设置渗透了类比的思想，是引领学生获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基本技能、基本思想.

第二个环节是拉链实验活动，如图3，是最本真的数学实验.这个环节的设置很好地将双曲线这个比较抽象的定义进行了形象、直观地演示，使得学生获得丰富的基本活动经验，体现了数学源于实践，又指导实践，提升学生“用数学”的自觉性，可以取得事半功倍的效果.

图3

第三个环节是：“思考：类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？”这个环节的设置目的是引领学生提高从数学角度发现和提出问题的能力，培育学生的直观想象、数学抽象、数学建模的核心素养.

教材承载着新课程改革的理念和导向，渗透着数学学科核心素养的培育，同时也体现了高考改革的发展趋向.教材上出现的任何信息都有它存在的价值，课本的结构是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是千锤百炼的，习题是精挑细选的，课本的每个素材的选取、问题的设置、规律的呈现等都具有极高价值.教材是编者集体智慧的结晶，是数学知识和数学思想方法的重要载体，又是教师的“教”和学生的“学”的主要资源.

教师甲不拘泥于教材的意图是无可厚非的，但是，她缺乏“理解教材”的意识，忽略了核心素养的培育.引例的设计，不仅应该将数学概念与学生熟悉的生活场景联系起来，起点要低，让抽象、难懂的数学概念更贴近学生生活，变得直观、生活化，使其成为“有效”的引入，使所有学生都能顺利接受、理解，而且要揭示概念的本质属性，将学生的数学实验过程由感性认识提升至理性认识的高度，让学生深刻领会到数学与实际生活之间密不可分，进而培育学生的数学抽象、数学建模等核心素养.而教师甲的几何画板的演示比较突兀，好似天外来客，没有了基本活动经验的生成，呈现了双曲线“冰冷”的美丽，浇灭了学生的“火热”的思考，学生只知其然，只有感慨：“高明！但，想说爱你不容易！”

教师的首要任务就是研读教材，可以结合学生的认知水平，不拘泥于教材，但是，要尊重教材，揣摩教材编者的设计意图，将教材这一“静态文本”背后的“动态故事”恰当地给学生进行解读和“翻译”，结合自己的创造性，搭建学生思维驰骋的平台，给学生留下广阔的思维空间，打造精彩交融的培育数学核心素养的“生命”课堂［1］.

二、注重理解教学的真谛

案例（二）直线的倾斜角与斜率

1.引入

在讲授直线的斜率概念时，究竟采用倾斜角α的哪个三角函数值为直线的斜率，教师乙画出y=sinx，y=cosx，y=tanx在区间［0，π）上的图像，让它们来个“公开、公正的竞聘”，看到底哪个函数能胜出.教室里出现了激烈的讨论，教师根据学生讨论的结果进行点拨、评析：正弦函数y=sinx在区间［0，π）函数值都是非负的，且对于不同的角，可能有相同的函数值，不利于直线问题的学习与研究，因此它失去了“当选”的资格；对于余弦函数y=cosx在区间［0，π）上虽然单调，也能保证一个斜率值对应一类位置确定互相平行的直线，但美中不足的是，即当倾斜角时，直线的斜率k=0，而此时直线垂直于x轴，“倾斜程度够大”，得其斜率k=0，这显然不合乎情理，它也不具备“胜出”的条件；y=tanx在区间上虽然不单调，但它确保了一个斜率值对应于一类位置确定互相平行的直线，并且当直线垂直于x轴时，直线变竖直了，“倾斜程度”大的达到极限位置，一点也不倾斜了，而此时的y=tanα→∞，即斜率就不存在了，这是多么和谐与自然！

2.设计初衷

教师乙：尊重教材，忠于教材，但不局限于“复制”“粘贴”地照本宣科，将教材中隐含的思维“找回来”，激活教材，洞察数学知识的内在本质.

3.反思

教师乙不拘泥于教材的做法是值得提倡的，结合三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx在区间［0，π）上的图像，让三者的函数值“竞聘”表示直线的斜率，善于将教材中抽象的“学术形态”转变为学生易于接受的“火热”的思维，实现思维过程的重构，有利于学生体验数学的真谛，还呆板的课堂一个自然和谐、兴趣盎然的动态生成的“思维演练场”.

事实上，每一个数学概念虽然是千锤百炼的数学精华，其起源与产生都是自然和谐的产物，然而，受篇幅的限制，教材不可能将它的来龙去脉一一展示出来，所经历的“火热”思考也无法呈现，这就需要教师“智慧”教材，还原其发生、发展过程的情境，体验“数学化”的思想，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，发展学生的数学建模等核心素养.

三、正待多媒体技术的助力

案例（三）余弦函数的图像与性质

1.引入

2.设计初衷

教师丙：在已经学习了正弦函数的图像与性质之后，引领学生“五点法”画图，以“几何画板”的动画形式演示余弦函数的图像的生成过程，最后强化性质的应用.

3.反思

教师丙借助于“几何画板”以动画的形式动态地演示余弦函数的图像的生成过程，更为贴合教材的理念，也有利于学生理解诱导公式的功能，理解有待学习的三角函数的图像变换，是值得提倡的，也是多媒体技术的价值之所在.但是，余弦函数的性质也借助于PPT技术一屏一屏地展示，不给学生思考的过程，扼杀了学生的激情，特别是后续的“巩固深化”“发展思维”“高考链接”等，例、习题也没有“留白”，多达30屏之多，纯属“填鸭”，表面上看，多媒体技术的应用非常熟练，比较“引人入胜”，知识目标已达成，还挺“高效”的.事实上，学生毫无激情可言，学生的异口同声更显“演戏”，浮于表面而已，全然忽视核心素养的培育.

数学的高度抽象等特点都是非常人思维的结晶，数学教学是重心，多媒体技术是工具.对多媒体技术感兴趣的部分教师在理解数学、理解教学、理解学生的基础上为了突破难点进行多媒体微课制作，是难能可贵的，但炫耀多媒体技术是误区.“核心素养引领，媒体技术助力！”这才是正道.

四、耐心聚焦素养的引领

案例（四）双曲线标准方程的推导

1.引入

在归纳出双曲线的定义后，教师丁启发学生，提出探究问题：“请问，你能类比椭圆的标准方程的推导过程来推导双曲线的标准方程吗？”然后巡视，个别辅导，4~5分钟后略作点评进入下一个环节.

2.设计初衷

学生已经熟悉了椭圆标准方程的推导过程，因此，学生应用类比的方法推导双曲线的标准方程，应该有能力完成的.

3.反思

教师丁应用类比的方法是完全合理有效的，点评课例时，笔者问到：“给你5分钟的时间，你能顺利地推导出双曲线的标准方程吗？”

其实，双曲线的标准方程的推导过程承载着以下功能：

③特征量a，b，c数量关系b2=c2-a2的由来，而不再是椭圆中的b2=a2-c2；

④数学运算的素养培育的基本经验活动中，对数学的简洁美的体验.

教师丁的处理并没有给学生充足的时间，使得学生缺失了基本技能的形成，没有经历基本经验活动的历程，使得培育核心素养，特别是数学运算素养的绝佳时机丧失.

学生数学核心素养的发展具有渐进性，特别是数学运算的素养是通过数学学习逐渐形成和发展起来的，因此，数学教学要注重过程性.这里的“过程”主要体现在两个方面：一是数学知识的发生、发展过程；二是学生的思维活动过程.注重“过程”，教师就要遵循学生思维发展规律，让学生简约地经历知识的发生、发展过程.而双曲线的标准方程的推导恰好是培育学生的逻辑推理、数据分析和数学运算等数学核心素养的极佳途径之一，教师应该给予学生充分的时间，让学生用数学的思维分析世界，通过建立和求解数学模型解决实际问题，通过抽象符号或直观图形表示具有某种共同特征的对象，通过精确计算定量地分析问题，通过推理探寻解决问题的路径，通过收集、整理、分析数据的特征化繁为简，在基本经验活动中体验数据分析、逻辑推理的功能，提高了学生自己分析和解决问题的能力，学会用数学的语言表达世界［2］.

以上笔者结合参赛数学教师的课例点评，对如何领悟教材的意图、理解教学的真谛、正待多媒体的助力、聚焦核心素养的引领，如何培育学生的数学核心素养，提升教学品位，作了一些思考和探讨.笔者的思考也许是幼稚的，认识也许是肤浅的，但总可以抛砖引玉，供方家批评指正.

1.岳峻，梅磊.领悟教材意图 提升教学品位——以数学归纳法为例［J］.中小学数学，2016（5）.

2.岳峻.以数学审题 探核心素养如何落地［J］.数学通报，2016（11）.

*本文系安徽省教育科学规划课题《基于核心素养的高中数学教学的实践途径与策略的研究》的阶段成果；安徽省阜阳市教育科学规划课题《基于微课的翻转课堂的数学教学实践研究》（编号FJK16054）的阶段成果；岳峻名师工作室的初步研究成果.