不应排斥学科渗透问题的适度考查

●刘海滨 (盐城中学，江苏 盐城 224005)

不应排斥学科渗透问题的适度考查

●刘海滨
(盐城中学，江苏 盐城 224005)

拓展数学应用，让学生学有用的数学，即学以致用，应是我们教学的一个重要目标.因此，高考应有正确的导向，不应固化考题，也不应排斥学科渗透问题的考查.只有多元化评价学生，考查学生的应用分析能力，这样才能调动教师开展研究性活动课的积极性，才能拓展学生的数学应用能力，才能真正提高学生的数学素养.

不应排斥；学科渗透；适度考查

1 问题背景

前不久，笔者所在学校高三年级组织了一次检测考试，数学试卷中有一道不同寻常的试题：

例1 如图1，一根细绳穿过2个等高的定滑轮，且2端分别挂有3 N,2 N的重物.现在2个定滑轮之间的细绳上挂一个重量为mN的重物，恰好使整个系统处于平衡状态，摩擦力忽略不计.

1)若细绳被重物拉成120°的夹角，求m的值；

2)求m的取值范围.

图1 图2

该检测题颇受争议，笔者所在学校高三数学组的主流意见是：把物理学科中的力学问题，融入到数学应用题中，难度较大，学生难以理清有关力的一些数量关系，而且数学高考肯定不会考查有关物理方面的应用题，平时的数学练习还是应该尽量避免此类题目.

上述意见，笔者不能完全苟同，有下列疑问：数学测试真的不能考查有关物理方面的应用题吗？我们的高考一定不允许学科渗透的考查吗？带着疑问，笔者做了一点思考，整理成文，与读者交流、探讨.

2 解题分析

接下来就是图形中边角关系的研究.第1)小题中，120°的夹角即∠AOB，从而∠A=60°，在△AOC中运用余弦定理，即可求出m的值；对于第2)小题，很多学生在△AOC中运用三角形的三边关系，迅速得到1

根据实际情况，重物将细绳向下拉，α，β应都是锐角，易知∠ACO=β.在△AOC中，由正弦定理可得

3sinα=2sinβ，

2个式子相加，化简得

m=3cosα+2cosβ.

结合上述正弦等式，消去α，可得

可能有人认为：2次运用余弦定理的运算处理有点灵活，学生不易过关.确实如此，但这类问题在物理学科中，通常是由水平方向的合力为0，即由正弦定理可得3sinα=2sinβ；以及竖直方向的合力为0，从而直接得出m=3cosα+2cosβ.如此，很容易想到消角，转化为m关于β的函数.

3 题类探讨

对于例1，也许有人会说，它是一道物理题，不是数学题.说例1是物理题，肯定没有错，它就是日常生活中的滑轮问题，确实是物理方面的问题.但说它不是数学题，值得商榷！

要用一个标准严格界定一个问题是不是数学题，不是一件容易的事，但我们可以粗略地把数学题分为2大类：一类是纯粹的数学问题，以研究空间形式和数量关系为主(百度百科释义)；另一类是数学应用问题，主要是运用数学知识解决生产、生活中的实际问题，即我们常讲的数学建模.据此，我们可以认为例1是数学应用题，只不过它是与力有关的问题，虽然是物理问题，但这并不妨碍它作为数学题.其实，数学与物理本来就是一家，没有数学理论知识作支撑，能研究物理问题吗？比如向量的引入，就源自于力学[1].数学就是解决实际问题(包括物理问题)的一个工具，从某种程度上讲，物理问题就是一类特殊的数学应用题.

回顾上述例1的解题过程，只是用了一点力的合成知识而已，而且这与数学中的向量加法是一致的，完成求解的主体过程是三角函数等数学知识，因此其作为数学题，不为过.若对于某一个问题的解决，所需物理知识的比重很大，远远多于数学知识，则把它作为数学题，就有点不合适了.

图3

翻开苏教版高中教材《数学(必修4)》，笔者发现：在“向量的应用”这节内容中，上述例1就是由课本题改编而来的(是在课本题的基础上，增加了第1)小题).并且类似于例1这样的“力与运动”方面的题目还有6道，笔者在此不一一例举[1].另外，在《数学(必修5)》“基本不等式”这节内容中，也有2道有关物理方面的题目：一道是杠杆问题[2]，另一道是电学问题(即以下例2).

例2 如图3，电路中电源的电动势为E，内电阻为r，R1为固定电阻，R2为一个滑动变阻器.R2调至何值时，其消耗的电功率P最大？最大电功率是多少(其中P=I2R)？

此外，在《数学(必修1)》“函数模型及其应用”一节中，有物理冷却问题；在《数学(选修2-2)》“导数及其应用”一章中，有不少物理方面的问题.教材上这么多物理方面的应用问题说明：应充分关注数学应用教学，不应忽视数学知识在物理方面的应用，不应排斥学科渗透问题的考查.

4 学以致用

4.1 不应固化考题

对于高考，笔者总是觉得过于保守了，试卷的固化太严重.高考之前给每个学生发《考试说明》，而根据《考试说明》命制的试卷，教师基本上都能估计到“什么题号对应什么题型，是什么难度”.

这样的试卷，对高中教学的影响比较大，不考的不教、必考的重点，反复讲反复练，课堂目标明确、重点突出，其实就是应试教学！教材上的阅读材料，没空读；教材上的探究问题，没空探.这样的教学，有点像工厂生成模具，所教出来的学生，都限制在一定的知识水平内，不能使学生学有所长，学生的个性化发展很差.

笔者认为：我们的高考不应固化考题，为什么要限制考题数量？完全可以根据试题难度调整数量，保证大多数学生有思考完成的时间即可.为什么要规定重要考点？文献[3]指出：高考应有正确的导向，有必要增加研究型试题，多元化评价学生，考查学生的研究分析能力，这样才能真正改变广大教师的守旧认识，调动教师积极开展研究性活动课，拓展学生的知识面，提高学生深入研究问题的能力，为教育创新起引领作用.总之，不限制考试思路，才能打开教学思路，才能让教师各尽其才，教出有深度和广度的学生.

4.2 应拓展数学应用

在平日的教学中，教师之间也常交流数学学习的作用，普遍认为：数学的学习能使人变得更聪明，它能锻炼人的思维分析能力，对今后的工作生活有着潜移默化的影响，而且数学是将来从事理工科工作人群的必要基础知识，是高端科研的必要知识.

笔者认为:中学数学教学应拓展数学应用，要让学生学有用的数学,要让我们的日常生活充满数学.当这些学生步入社会，即使不从事理工科的工作研究，他们也感到数学是有用的，并能把数学知识用到工作、生活中，这样我们的数学学习才更有意义，也才能让全社会都认同数学学习.

学习数学的目的是要让学生学有所用，解决生活中的实际问题，而不要刻意加大难度，反而有些生活问题，适当简化命题，倒是很有必要.没有必要排斥学科渗透问题的应用，而应该扩充数学应用的范围，加大数学应用题的考查，从而真正提高教师的应用教学意识，切实提高学生的数学建模能力.

高考命题要有原则，原则是要有正确的教学导向作用，要引导教师遵守教学理念，发挥自身所长，不仅要教给学生课本知识，更要教出自己的理解与观点，带领学生开展研究性学习活动，让学生学会思考，学会独立解决问题.

[1] 单墫.普通高中课程标准实验教科书·数学(必修4)[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[2] 单墫.普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[3] 崔志荣.高考数学应适当增加“研究型试题”的分析[J].数学通讯，2017(2)：8-13.

若按顺时针排列，则

图1

如图1所示，将三角形所在平面分成7个区域，文献[1]和文献[2]已经证明了点O在△ABC内部(即区域①)的情形.

1)若点O在区域②内，则τ(A,BC,O)=-1，τ(B,CA,O)=-1，τ(C,AB,O)=-1，此时点O,B,C按顺时针排列，点O,C,A和点O,A,B按逆时针排列，从而

2)若点O在线段BC上(不含端点)，则点O,B,C共线，进一步有x2y3=x3y2.此时，τ(A,BC,O)=0,τ(B,CA,O)=1,τ(C,AB,O)=1，点O,C,A和点O,A,B按顺时针排列，从而

同理可得

我们还可以把定理1阐述如下：

2 三角形的“五心”

根据前面的定理，结合三角形“五心”的几何特征，可以得出一些等式，根据文献[1]的结论，下面的各个推论也只需对于钝角三角形的情形作出证明.

图2 图3

推论2 如图2，点O1，O2，O3是△ABC的旁心，则

证明 若△ABC为钝角三角形(其中∠C为钝角)，则垂心O在三角形的外部(如图3)，根据定理1可得

因为

即

S△OBC∶S△OCA∶S△OAB=tanA∶tanB∶(-tanC)，

所以

图4

证明 若△ABC为钝角三角形(其中∠C为钝角)，则外心O在三角形的外部(如图4)，根据定理1可得

因为S△OBC=2R2sin∠BOC，S△OCA=2R2sin∠COA，S△OAB=2R2sin∠AOB，所以

又∠BOC=2A,∠COA=2B,∠AOB=2∠D=2(π-∠C)，故

从上可以看出，三角形外心、内心、垂心的向量表示形式都与三角函数相关，且锐角三角形和钝角三角形的情形完全一致，简洁实用，可谓珠联璧合，给人以美的享受！如果改用三角形的边或面积来表示，则需要分情况讨论，达不到这个效果.

3 解题中的应用

(2014年浙江省高中数学竞赛试题第12题)

(2016年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题第5题)

以上3个例题都涉及到点在三角形外部的情形.

sinA∶sinB∶sinC=2∶2∶1,

tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3.

例6 (欧拉线)设△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H,则点O，G，H共线.

证明 对于直角三角形，结论是显然的.对于非直角三角形，由推论4可得

故

即点O,G,H共线.

以上3个例题利用三角形“五心”统一向量表示形式，解题过程十分简单.

三角形的“五心”既有统一的向量表示形式，又有关乎三角形各角的等量关系，易于记忆，方便使用，在解决此类问题时还可以达到“秒杀”的效果.

参 考 文 献

[1] 朱庆华.面积法求三角形的五心的向量表示的同一形式[J].数学通讯，2010(5):40-41.

[2] 关丽娜，钟德光.三角形“五心”向量形式的一个简证及应用[J].中学教研(数学)，2017(1)：31-34.

[3] 克莱因.高观点下的初等数学·几何[M].上海：复旦大学出版社，2007.

2017-04-24

刘海滨(1969-)，男，江苏盐城人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O12

A

1003-6407(2017)09-32-03