形如|g(x)-ax-b|的函数最值问题破解之法

●陈素凤 (温岭中学，浙江 温岭 317500)

形如|g(x)-ax-b|的函数最值问题破解之法

●陈素凤
(温岭中学，浙江 温岭 317500)

形如|g(x)-ax-b|的函数最值问题，常是学生的拦路虎.文章通过回归基础、类比推广、猜想论证、变式拓展等研究得到此类问题的解决方法．

含绝对值函数最值问题;两直线夹逼;破解之法

形如|g(x)-ax-b|的函数最值问题，在近几年高中数学竞赛、自主招生、高考与学考中频繁出现，但由于涉及思想方法多、综合性强、分析能力要求高，许多学生只能望题兴叹．那么有无破解此类含参数绝对值最值问题的方法呢？笔者进行了一番探究，发现可借助两平行线夹逼性质来求解．

1 回顾基础,寻找突破

问题是思维的开端，是学习的起点，也是深入探索、研究的原动力.为解决上述问题，我们先从基础入手，寻找解决问题的突破口．

问题1 函数f(x)=|x-b|在区间[0,2]上的最大值为M(b),求M(b)的最小值．

解 因为-b≤x-b≤2-b，所以

M(b)=max{|-b|,|b-2|}，

从而

M(b)≥1，

当b=1时取到等号，即M(b)的最小值为1．

反思 根据函数y=x,x∈[0,2]的图像与函数y=b的图像关系发现：函数y=x,x∈[0,2]的图像夹在y=0与y=2之间，得

2 类比推广，初露端倪

在解题过程中，好的方法让人拍手叫绝，而优化解题就必然要进行类比、联想与转化.对于非直线型函数g(x)，可以类比直线型函数的方法加以解决．

类比1 将x推广为任意函数g(x)

已知f(x)=|g(x)-b|，g(x)是闭区间上的连续函数，记g(x)最大值为g(x)max、最小值为g(x)min，若f(x)的最大值为M(b)，求M(b)的最小值．

解 因为g(x)min-b≤g(x)-b≤g(x)max-b，所以

M(b)=max{|g(x)min-b|,|g(x)max-b|},

从而

于是2M(b)≥ |g(x)min-b|+|g(x)max-b|≥

g(x)max-g(x)min,

即

分析 推广研究发现:最值只与函数g(x)的最大值与最小值有关，因为g(x)的图像夹在y=g(x)max与y=g(x)min之间，所以

类比2 将直线y=b推广为y=ax+b

已知f(x)=|g(x)-ax-b|，g(x)是闭区间上的连续函数，记f(x)的最大值为M(b)，求M(b)的最小值．

分析 因为g(x)-ax是闭区间上的连续函数，所以必存在最值.可以利用类比1求解此题，但是函数g(x)-ax含有参数a，给g(x)-ax最值的求解带来很大的难度,那么有没有其他解决方法呢?因为g(x)-ax-b是闭区间上的连续函数，所以g(x)-ax-b有最大值与最小值，不妨分别记为m,n，则

n≤g(x)-ax-b≤m，

从而

ax+b+n≤g(x)≤ax+b+m，

故g(x)的图像夹在y=ax+b+n与y=ax+b+m之间．下面可利用y=ax+b+n与y=ax+b+m的关系解决|g(x)-ax-b|的最值问题.

3 大胆猜想，合理论证

牛顿说过：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现．面对上述探索与思考，可得如下定理1：

图1

定理1 已知y=f(x)是闭区间D上的连续函数.若存在函数h1(x)=ax+b1，h2(x)=ax+b2使得h2(x)≤f(x)≤h1(x)恒成立.设A(x1,y1)是h1(x)与函数y=f(x)的公共点，B(x2,y2)是h2(x)与函数y=f(x)的公共点，则当x=x1时,h1(x1)=f(x1)=y1;当x=x2时，h2(x2)=f(x2)=y2(如图1).记|f(x)-ax-b|在区间D上的最大值为M(b)，则

证明 因为M(b)是|f(x)-ax-b|的最大值，所以

于是

事实上，类比1就是类比2当a=0时的特殊情况．

4 牛刀小试，豁然开朗

如果对定理1与类比1切实掌握，那么解决形如|g(x)-ax-b|的函数最值问题便小菜一碟．

( )

C.(-∞,1] D.(-∞,2]

(2016年4月浙江省数学学考试题第18题)

分析 由题意，可记M(b)为f(x)在x∈[1,2]上的最大值,则M(b)≥m对任意b恒成立.

图2

恒成立，从而

5 疑云再生，再次突破

我们已用定理1及类比1轻松地解决了例1，但不能就此罢休，笔者通过对例1题设条件的挖掘，得到如下变式：

定理2 已知函数y=f(x)，x∈D，函数图像上存在3个点A(x1,y1)，B(x2,y2),C(x3,y3),满足x1

图3

证明 记g(x)=f(x)-ax-b，则

g(x1)=f(x1)-ax1-b，

g(x2)=f(x2)-ax2-b，

g(x3)=f(x3)-ax3-b，

又b1-b2=y1-kx1-y2+kx2=

y1-y2-k(x1-x2)=

因为(x2-x3)(f(x2)-f(x1))-(x2-x1)(f(x2)-f(x3))=(x2-x3)(g(x2)-g(x1))-(x2-x1)(g(x2)-g(x3))=(x3-x2)g(x1)-(x3-x1)g(x2)-(x2-x1)g(x3),及|(x3-x2)g(x1)-(x3-x1)g(x2)-(x2-x1)g(x3)|≤

|(x3-x2)g(x1)|+|(x3-x1)g(x2)|+|(x2-x1)g(x3)|≤

2(x3-x1)M(a,b),

所以2(x3-x1)M(a,b)≥|(x3-x2)g(x1)-(x3-x1)g(x2)-(x2-x1)g(x3)|=|(x2-x3)(f(x2)-f(x1))-(x2-x1)(f(x2)-f(x3))|=|(x2-x3)(y2-y1)-(x2-x1)(y2-y3)|=

|x3y1+x2y3+x1y2-x1y3-x2y1-x3y2|=

|(b1-b2)(x3-x1)|,

即

进一步便得到上述变式1的解答．

图4

y=-x+3.

易得

6 变式拓展，游刃有余

通过试题的变式与挖掘，可以将g(x)推广到二次、三次或更一般的形式，使问题进一步深化，从而扩大学生的认知范围．

图5

h1(x)≥f(x)≥h2(x)

y=3t2(x-t)+t3.

因为切线过点A(1,1)，所以

1=3t2(1-t)+t3,

化简得

(t-1)(2t2-t-1)=0，

易得

于是

进而

当f(x)不是多项式时定理2也成立,如1983年全国高中数学联赛二试第5题.

图6

在数学学习过程中，无论教师还是学生都会产生一些疑问，这些都是很好的生成资源．我们要学会抓住疑问，用数学的方法研究问题，逐步揭开难题神秘的面纱，掌握问题的本质，从而实现多题一解，让更多的师生脱离题海战术．

2017-05-27

陈素凤(1973-)，女，浙江温岭人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122

A

1003-6407(2017)09-19-04