2017年全国卷Ⅱ文科第21题评析

●戚有建 (扬州中学，江苏 扬州 225009)

2017年全国卷Ⅱ文科第21题评析

●戚有建
(扬州中学，江苏 扬州 225009)

文章研究2017年全国数学高考新课标卷Ⅱ文科第21题的多种解法及深刻背景.

泰勒公式；ex≥x+1；压轴题

1 考题展示

例1 已知函数f(x)=(1-x2)ex,

1)讨论f(x)的单调性；

2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

(2017年全国数学高考新课标卷Ⅱ文科试题第21题)

分析 本题是2017年该卷的压轴题，考查的是导数的应用.第1)小题重点考查用导数研究单调性，多数学生都能解决;第2)小题重点考查用导数研究不等式恒成立问题，同时考查分类讨论、转化化归的数学思想，该小题入口较宽，解法多样，背景丰富，有一定难度和区分度，也有很大的教学价值和研究空间[1].

2 解法研究

1)解f′(x)=(1-2x-x2)ex，令f′(x)=0，则

x2+2x-1=0，

即

下面重点研究第2)小题.

2)解 由题意可知：对任意x∈[0,+∞)，不等式(1-x2)ex≤ax+1恒成立.

方法1 构造差函数，研究g(x)=(1-x2)ex-ax-1的最值.

令g(x)=(1-x2)ex-ax-1，x∈[0,+∞)，则

g′(x)=(1-2x-x2)ex-a,

从而

g″(x)=-(x2+4x+1)ex<0，

于是g′(x)在[0,+∞)上单调递减.又g′(0)=1-a，因此

①当a≥1时，g′(x)≤g′(0)=0，从而g(x)在[0,+∞)上单调递减，于是g(x)≤g(0)=0，符合要求.

②当0≤a<1时，

g′(0)=1-a>0，g′(1)=-2e-a<0，

又g′(x)在[0,+∞)上单调递减且连续，由零点存在性定理得∃x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0.且当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，从而g(x)在[0,+∞)上单调递增，于是g(x)>g(0)=0，不符合要求.

综上所述，a的取值范围是[1,+∞).

点评 方法1是处理含参不等式恒成立问题常用的方法，也就是将不等式恒成立问题转化为差函数最值问题，然后研究不等式“g(x)max≤0”，该方法通俗易懂，学生容易想到．但由于本小题中引入了参数a，因此需要对参数a分情况讨论处理，这对学生的思维能力提出了较高要求，另外在0≤a<1的情形中还会遇到“g′(x)=(1-2x-x2)ex-a，x∈[0,+∞)的零点不方便求出”的困难，这里需要通过“设而不求”来处理，这对学生来说有一定难度.

①当x=0时，不等式(1-x2)ex≤ax+1恒成立，从而a∈R.

又令h(x)=(-x3-x2+x+1)ex+1，x∈(0,+∞),则

h′(x)=-x(x2+4x+1)ex<0，

从而h(x)在(0,+∞)上单调递减，于是

h(x)

即

g′(x)<0，

亦即g(x)在(0,+∞)上单调递减，因此

综上所述，a的取值范围是[1,+∞).

方法3 借助不等式(1-x)ex≤1放缩处理.

先证(1-x)ex≤1，x∈R.设d(x)=(1-x)ex-1，则

d′(x)=-xex.

令d′(x)=0，则x=0:当x∈(-∞,0)时，d′(x)>0,从而d(x)在(0,+∞)上单调递增；当x∈(0,+∞)时，d′(x)<0,从而d(x)在(-∞,0)上单调递减，于是

d(x)max=d(0)=0，

进而

d(x)≤d(0)，

即

(1-x)ex≤1，

当且仅当x=0时，等号成立.

借助(1-x)ex≤1可得：当x≥0时，

f(x)=(1-x2)ex=(1-x)(1+x)ex≤x+1，

又当x≥0时,f(x)≤ax+1，故a的取值范围是[1,+∞).

点评 方法3实际上是借助不等式(1-x)ex≤1来处理，简洁漂亮，简直是“秒杀”，让人赏心悦目，大呼痛快、精彩．同时，也引起我们的思考:不等式(1-x)ex≤1是如何想到的呢,有何背景？

3 背景研究

不等式(1-x)ex≤1看似平凡其实很不平凡，它实际上是不等式ex≥x+1的变形，用-x去换ex≥x+1中的x，得

e-x≥1-x，

两边同乘以ex即得

(1-x)ex≤1．

而不等式ex≥x+1更是大有来头，它来源于高等数学中的泰勒公式:f(x)=ex在x=0处的泰勒展开式为

即

故

ex≥x+1．

这样就不难理解本题的命制过程了，首先根据泰勒公式得到ex≥x+1，用-x去换ex≥x+1中的x，得e-1≥1-x，两边同乘以ex即得(1-x)ex≤1，两边再同乘以1+x(其中x≥0)即得

(1-x2)ex≤x+1，

然后隐掉x前面的系数1，改成求参数a的取值范围，这就是本题的命制过程．

4 背景应用

例2 设函数f(x)=ex-1-x-ax2，

1)当a=0时，求f(x)的单调区间；

2)若当x≥0时都有f(x)≥0，求实数a的取值范围．

(2010年全国数学高考新课标卷Ⅱ文科试题第21题)

分析 第2)小题的命制背景是泰勒公式

首先根据泰勒公式得到不等式

例3 设函数f(x)=x(ex-1)-ax2，

2)若当x≥0时都有f(x)≥0，求实数a的取值范围.

(2010年全国数学高考新课标卷Ⅱ理科试题第21题)

分析 第2)小题中f(x)≥0，即

ex-1-ax≥0，

命题背景也是泰勒公式

首先得到不等式ex≥x+1，然后隐掉x前面的系数1，改成求参数a的取值范围．

例4 已知函数f(x)=axn(1-x)+b(其中x>0,n∈N*,a,b为常数)，曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1．

1)求a,b的值；

2)求函数f(x)的最大值；

(2012年湖北省数学高考文科试题第22题)

分析 第3)小题只要证

即

亦即

即

例5 已知函数f(x)=ex-ln(x+m)，

1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

2)当m≤2时，证明：f(x)>0．

(2013年全国数学高考新课标卷Ⅱ理科试题第21题)

分析 第2)小题中，当m≤2时，

ln(x+m)≤ln(x+2)，

即只要证ex>ln(x+2).实际上，由不等式lnx≤x-1可得

ln(x+2)≤x+1，

又因为ex≥x+1，并且上面两个不等式中的等号不能同时取到，所以ex>ln(x+2)．

例6 设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.

1)令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式；

2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

3)设n∈N+，比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明．

(2014年陕西省数学高考理科试题第21题)

分析 第3)小题只要证

令b1+b2+…+bn=ln(n+1)，则

即

例7 已知函数f(x)=lnx+a(1-x),

1)讨论f(x)的单调性；

2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.

(2015年全国数学高考新课标卷Ⅱ文科试题第21题)

分析 第2)小题的命制背景也是泰勒公式，首先得到不等式lnx≤x-1，左、右两边加2得到不等式lnx+2≤x+1，然后将在不等式的右边添参数a改为含参不等式lnx+2≤a(x+1)，即

lnx+a(1-x)≤2a-2，

这就是本题的命制过程．

[1] 姜卫东，戚有建．一道调研题引起的研究[J]．中学教研(数学)，2015(4)：20-22．

[2] 戚有建．2012年湖北卷文科压轴题分析[J]．中学数学研究，2013(4)：9-10.

2017-07-20

戚有建(1977-)，男，江苏扬州人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)09-47-04