例谈小学数学教育的三个“不等式”

张世明

摘要：学生在学习中常常出现“不懂”“不会”“不通”的情况，教师往往将责任归咎于学生一方，恰恰忽视了三个教育不等式，即 “讲”不等于“懂”、“懂”不等于“会”、“会”不等于“通”。教学中如果关注这三个不等式，反思教育的过程，采取有效的策略，提升学生的数学思维能力，我们就会对学生多一份理解，对自己多一份教学的清醒。

关键词：小学数学；讲授；理解；融通

中图分类号：G622.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2017）07B-0097-04

我们时常听到老师这样抱怨学生：“这道题老师都讲过好几遍了，你怎么还是不懂？”“刚才你不是举手表示听懂了吗，怎么现在又不会了？”“你做题怎么不知道变通？”我们常常把学生“不懂”“不会”“不通”的原因都一味地归咎于学生一方。其实，在这一过程中，我们忽视了几个教育的不等式，是更为重要的原因。

一、“讲”不等于“懂”

有些教师会认为：我讲了，学生就会懂。但实践告诉我们，很多时候并非如此。教师讲了，并不能保证学生一定就能懂，因为由讲到懂，应当以学生深度参与为桥梁。如果在教师讲的过程中，学生的思想游离于教师所讲内容之外，这时教师的讲就变成了一厢情愿；或者当学生处于被动学习的状态时，学生只是看起来像在听，其思维并未能进入深层次的学习；或者明明对其中有不理解的地方，却不善于问，或碍于面子不敢问，这样就给后续的学习或做题埋下了隐患。

比如，一次作业中有这样一道题：“35分钟=____时”，我以为这类题不应该再出现问题，因为做题方法我已经向学生讲过多遍，可还是有好几个学生做错了。讲评时，我想了解一下到底在哪个环节出了问题，便请其中一位做错的学生说说自己的思路过程，帮他分析一下产生错误的原因，形成正确的认知。

师：这道题你做错了，能说说做错的原因吗？

生1：我不知道要用“35÷60”。

师：那你现在知道为什么用“35÷60”吗？

生1：还是不知道。

师：谁来帮忙解释一下？

生2：因为“时”和“分”之间的进率是60，“35分钟=____时”是把小单位的名数改写成大单位的名数，要除以进率60。

师：你现在听懂了吗？

（生l还是似懂非懂的样子。生2已经把解题方法讲这么清楚了，但生1为什么还是不懂呢？）

师：好，我们先来看看这道题中的两个单位，它們分别是什么？

生1：分和时。

师：分和时之间的进率是多少？

生1：60。

师：这题是把小单位的名数改写成大单位的名数，还是把大单位的名数改写成小单位的名数？

生1：把小单位的名数改写成大单位的名数。

师：把小单位改写成大单位，方法就是：用35除以进率60，现在明白了吗？

（从表情上看，生l似乎还不太理解。这时有学生举手想发言。）

生3：老师，我虽然知道小单位改写成大单位要除以进率，但不知道为什么要“除以”进率。

生1点头，颇有同感的样子。

为什么我自以为讲得很清楚了，学生却还是不懂呢？仔细想想，这里忽视了一个问题，那就是师生之间客观存在的差距。要知道，教师学科知识、思维经验一般都优于学生，思维往往具有很大的跳跃性。以“35分钟=____时”这题为例，学生要想清晰地理解并熟练解决这个问题，一般要对三个问题进行思考：（1）分与时之间的进率是多少；（2）分与时这两个单位的大小比较；（3）求“35分钟=____时”，就是看35分中有多少个60分钟。老师对这几个问题中的前两个问题要进行思考，对第三个问题，基本是一种直觉性的思维，在无意识间就可以迅速求解。而这个问题恰恰是卡住学生思维的“结点”。教学时，如果我们对这个“结点”关注不够，只是把解题的思路过程简化为两个程序传授给学生：一是牢记进率，二是小单位改成大单位要除以进率，学生便不能真正理解“小单位改写大单位要除以进率”这样一个原理。倘若学生在不理解的情况下，又没有主动询问老师，这就会使解题变成执行程序，机械套用。由于缺少对原理的理解，一旦当他们对该思路过程记错或忘记时，只能靠“猜测”来解题，难免会出现错误。

教学中，学生做错了题，我们不能因为自己把该讲的知识都讲了，好像方法也教给学生了，就责怪学生，而要注意观察学生有没有深度参与，多与学生进行心灵的沟通，善于“蹲下来”，多听听他们的声音，听他们讲学习中的疑点、盲点，同时还要善于突破自己“教”的思维定势，多从自身“教”这方面细细查找原因，或许就能找到问题的症结。

二、“懂”不等于“会”

我们在新授完某一知识以后，有时习惯性地问学生：“今天老师讲的内容大家都听懂了吗？”如果学生齐刷刷地回答：“懂了”，教师似乎就有一种心理上的自我安慰。然而到了学生独立运用有关知识进行解题时，只要将题目背景一变，有的学生还是不会做。这到底是什么原因？其实，我们常常有一个误判，他们所说的“懂”只是浅层次的，“懂”和“会”之间还是有一定距离的，我们不能满足于学生所说的“懂了”，而要重点考察学生有没有真正掌握数学的思想方法。

比如，一位老师教学苏教版六年级上册《解决问题策略——替换》，书中的例题是：“小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。已知小杯容量是大杯的三分之一，小杯和大杯的容量各是多少毫升？”教学中，这位老师根据教材中的情境图，制作了多媒体课件进行演示，通过直观演示，学生似乎都明白了。例题讲完之后，老师进行了追问：“对今天讲的用‘替换这一知识来解决问题，大家听懂了吗？”学生没有提出问题。在接下来的知识运用环节，教师出示了这样一道平行练习题：“3辆大货车和4辆小货车共运货30吨，已知大货车的载重量是小货车的2倍。这两种货车的载重量各是多少吨？”这时我发现身旁的一名学生嘴咬笔端，迟迟不动笔。我悄悄地问他：“你怎么不做？”他回答说：“不会做。”我接着问：“这道题的解题思路与例题差不多，刚刚老师讲完例题之后问大家听懂了没有，我发现你是举手的，现在为什么又不会做了呢？”他说：“老师讲例题时是有图的，我好像是听懂了，可这道题没有图，我就不知道怎么做了。”在作业反馈环节，教师请做对的学生举手，结果全班有近四分之一的学生没有举手，引起了我的反思。这节课教师在教授例题时，采用了直观教学，对所要讲的知识似乎也讲了，之后，教师问了全班学生：“大家听懂了吗？”学生也齐声回答：“听懂了！”但为什么到了巩固练习时还有那么多的学生不会做题呢？

回顾讲授例题的过程，教师和学生都过度关注直观演示，学生的认知只是停留在感性的“生活化认知”的层面，整个教学過程是奔着找到一种解决问题方法的单一目标而去的。例题讲完之后，教师只是简单地问学生：“听懂了吗？还有什么问题？”并没有让学生通过回顾对方法、策略、思想的形成过程进行再认和梳理，因而学生的认知并没能发展为“数学化认知”。其实，方法、策略、思想这三者有着递进的关系，数学方法上升到一定高度便形成策略，数学策略通过进一步凝练则形成数学思想。就上述这一例题来讲，将两种不同的杯子转换成同一种杯子来求解，是其解题方法。利用不同背景的相关题目，让学生在观察比较中发现这类题蕴含着相同的解题思路，即都是“提出替换—进行转化—获得解题思路”这一解题策略。但这里仅仅让学生掌握解题的方法和策略还不够，更需要在此基础上帮助学生形成数学思想。就本例题而言，根据“小杯容量是大杯的三分之一”，既可将“6个小杯”替换成“2个大杯”，又可将“1个大杯”替换成“3个小杯”，渗透“对应”的思想；将两种不同的杯子替换成同样的杯子，杯子数量变了，但“720毫升果汁”不变，体现了“变与不变”的思想。这类题有一种带有“模型”意义的思路过程：第一步，确定替换掉哪一种量；第二步，寻找替换的依据；第三步，思考如何替换；第四步，替换之后相等于多少个什么样的杯子来装720毫升果汁，进而求出该杯的容量。这些，都渗透了“有序思维”及简单的“建模”思想。

由此看来，具体的解题过程与指导并不是数学教学的核心，而发掘和提炼数学学习内容的核心知识，从数学思想方法的层面引导学生展开数学分析和思考，学生才能真正学得扎实，认清形式背后的本质内涵及其变化规律，从整体上深刻地理解数学，充分体验、领悟思想方法和解题策略的普遍意义，从而以不变应万变，提高他们的解题效率和应用能力。教学中如果我们长期地关注数学思想方法的沉积和凝练，便能使学生逐步养成善于反思和总结的习惯，促进他们主动地从数学思想方法的高度去把握数学知识的本质。

三、“会”不等于“通”

在讲完一个例题之后，当我们出一些同类的题让学生练习时，发现学生一般都会做，但只要将题目稍加变化，不少学生就难以应对。因为就某一知识而言，学生仅仅是停留在“会”的层面，而没有达到“通”的境界。如果我们以“会”为“通”，就降低了认知与思维的等级。其实，由“会”到“通”，当以学生独立地思悟作为桥梁。教学有三重境界，教之以“知”，教之以“法”，悟之以“智”。教之以“知”如授人以“鱼”，教之以“法”如授人以“渔”，而最高境界乃是学生悟之得“智”，真正变得聪慧起来。这就提醒我们，教学中要懂得给学生以适当的时间和空间去感悟。

比如，苏教版五年级下册“圆的周长和面积”的教学。如果省去教师直观演示和让学生操作、观察的过程，直接告知学生圆面积公式及计算方法，相信学生在已知半径、直径、周长的情况下也能求出圆的面积。但是，圆面积公式是前人经过高度的提炼加工然后用简约化和抽象化的符号表达出来的，如果将这一符号化的结果知识直接告知学生，学生就缺少了知识形成过程的真实经验和体验。在实际教学中，我先采用课件直观演示，将圆剪拼成一个近似的长方形，让学生观察得知：长方形的面积与圆的面积相等，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。之后又让学生模仿老师的演示，用学具进行了操作。最后推导出圆面积公式。这样的教学，学生不仅会求圆面积，也知道了圆面积公式的来龙去脉。

但问题还是出现了。这部分内容结束后，到了复习阶段，我给学生出了如下几道题：

（1）如图1，长方形周长比圆周长长20厘米，求圆面积。

解这道题需要学生清楚地知道将一个圆切拼成近似的长方形后周长所产生的变化。

（2）如图2，已知圆周长40厘米，如果圆的面积和长方形面积相等，计算阴影部分的周长。

这道题需由“圆面积和长方形面积相等”这一条件，推知长方形两条长之和即为圆的周长，从而求出解。

（3）如图3，长方形和圆面积相等，圆的半径等于长方形的宽，已知阴影面积是120平方厘米。求圆面积。

这道题需由“长方形和圆面积相等，圆的半径等于长方形的宽”推知阴影部分的面积即为圆面积的四分之三，进而求解。

（4）如图4，阴影部分是一个长6.28厘米的长方形，它的面积与圆面积相等。求圆面积。

这道题需由“长方形的面积与圆面积相等”推知长方形的长即圆周长的一半，进而求解。

经统计，这几道题一开始全班只有极少数学生能够解答。我暗自怪罪学生，当初明明对圆转化成长方形进行了演示，学生自己也动手进行了操作，可到了这里怎么就不知道变通？再转念一想，自己的“教”有没有不足的地方呢？反思教学环节，在讲授圆面积这一知识时，教师直观演示的目的很大程度上是直奔圆面积公式的推导的，教学过程是依照教材来展开的。就学生的“学”而言，其操作则完全模仿了老师的演示，只是被动、机械地完成规定程序，其认知停留在表象上，并没有在观察、比较和推理的过程中去理解圆与拼合的长方形之间的关系，因而没能真正形成数学的思维。就教师的“教”而言，只是停留在对教材本身所传达的文字信息上，没有做适度的延伸和拓展，没能很好地促成学生实现认知的深化和发展，这些正是造成学生不能将知识内化并迁移运用的重要原因。鉴于此，在圆面积公式得出之后，可以再做一些回顾与拓展，请同学们仔细观察刚才的剪拼图，思考：（1）如果告诉你长方形与圆面积相等，圆半径等于长方形的宽，你能推知出什么？（2）如果告诉你长方形的长，你能推知出什么？（3）由圆变成长方形，什么产生了变化？有怎样的变化？

通过这些逆向性和延伸性的追问，加深了学生对知识的记忆和理解，今后他们在遇到上述这类拓展性题目时，就会通过联想，让相关知识复活起来，去辨认问题的特征，将之纳入相应的知识系统中去，进一步找到解决问题的途径与方法。

对于教学中学生出现的“不懂”“不会”“不通”，我们除了要从学生的学习基础、学习心理、学习能力、学习方法、学习习惯等方面进行分析之外，更多的还是要善于从我们自身“教”的角度去反思。比如，我们在教学理念、教学行为等方面有哪些不足？卡住学生思维的结点在哪里，又如何进行改进等等，这样，我们就会对学生多一份理解，对自己多一份教学的清醒。

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