高中数列概念教学中的逻辑与直觉

戴蓓蓓

[摘 要] 数列是高中数学的重要知识，数学概念的构建需要重视学生的直觉思维与逻辑思维. 利用数学故事创设学习情境的关键，是体现其中的思维特征，因此对于学生熟悉的故事可让他们自己去表述，以推动他们进一步自觉运用不同的思维方式；概念构建的过程中要注意逻辑思维的运用，而数列问题解决的过程中，则需要强化直觉思维决定解题方向，逻辑思维决定解题过程与结果的意识.

[关键词] 高中数学；数列概念；概念教学；思维方式

数列是高中数学教学的重要内容，在数学教学中可以发现，学生的思维往往受逻辑思维与直觉思维的支配，但由于这两种思维方式有时协调不是太好，因此无论是在新知构建过程中，还是在利用数列知识解题的过程中，总不能表现出很强的技巧，这也给数学教师带来了困扰，不知道怎样的教学才是有效的. 当然，面对这一困难，同行们作出的探讨也很多，笔者本文试图从学生的思维方式的角度提出自己的见解.

从思维角度来寻找数学教学中出现的问题的解法，其在笔者看来是一种费力但很直接的方式，因为学生在数学学习中最需要的就是思维的支撑，数学本身也是思维的产物，尤其是高中数学，如果忽视了思维那将寸步难行. 但如果任凭学生的原有思维去自然发挥作用，其与数学学习的要求往往又是不匹配的，因此研究思维方式，更多的是研究其如何促进学生的数学学习. 数列对于高中学生来说，既好玩，又难学，唯有梳理好思维，才能让学生学习的思路更为清晰.

[?] 直觉思维打破学生的认知平衡

在数列学习的最初阶段，教师总喜欢用一些数学故事来作为引入，而笔者在对相关文献作了简单的统计之后，发现最常用的数学故事有两个：一是数学家高斯小时候计算“1+2+3+4+…+100=？”的例子；二是一个国王赏赐立功大臣大米的例子，即在棋盘上按第一格放1粒大米，第二格放2粒大米，第三格放4粒大米，第四格放8粒大米……以此类推，直至棋盘放满. 应当说这样的例子之所以得到教师的喜爱，其中重要的原因就是这些例子不仅与数学知识密切相关，而且能够迅速激发学生的学习兴趣，应当说同时具备这两个功能的数学例子还不多见，因此其受到欢迎也就顺理成章了.

但是在实际教学中笔者却注意到另一种现象，那就是对这些例子的使用其实并没有达到更好的境界，这就使得这些例子的作用没有能够全部发挥. 这就如同中医治病一样，因为火候不够，使得中药的功能不能全部发挥，这显然是一件非常可惜的事情. 为什么笔者这么认为呢？原因一，不少学生其实是听说过这两个数学故事的，对于高中数学教学来说，如果仅满足于故事的直接呈现，那么对学生的兴趣激发的作用其实是非常有限的；另一个更重要的原因是，如果只满足于简单呈现这两个事例，而没有学生的思维参与，那么对其后的数列知识的构建也是没有效果的.

那么，对于这两个事例，如何有效地渗透思维含金量呢？笔者以为，或许可以这样进行：

其一，不妨让学生来叙述这两个数学故事. 学生不是知道这两个故事吗？不是在教师呈现这两个故事的时候，有学生总表现出因为已知而有些不屑一顾吗？那就让学生来说. 这倒不是为了与学生较劲，而是教师必须知道，如果让学生来叙述这两个故事，那他们一定就要确保自己讲的这个数学故事具有逻辑特征！这是最为关键的一点，这就意味着他们要通过思维的加工确保自己所说的故事在逻辑上是自洽的. 这对于学生来说就是一个挑战了，因为此前他们听故事时只是一种低水平的直觉思维，所得到的感觉也就是好玩；而现在需要逻辑思维的加工，需要他们对故事中的计算过程有所预测，这时就逻辑思维起作用了. 而且在实际教学中有一个技巧，那就是要给出一定时间让所有学生进行思考，不能急于叫某个学生起来回答，否则其他学生就会选择不思考了. 本环节的设计，要的就是全员思考的效果.

其二，让学生去比较两个故事中的素材与计算过程的异同. 比较思维一定是学生学习中需要且必须常用的思维，因为很多结论其实都是比较的结果. 通过对这两个数学故事的比较，学生可以发现高斯这个事例中所呈现的数的规则是自然数1至100的累加，是等差数列；而下棋事例中的数字则是一个等比数列. 尽管此时等差数列与等比数列的概念还没有出现，但本身这个比较的过程作为思维的一种方式，其就是服务于学生建构这两个数列概念的（两个数列概念建立之后再分别实施教学）.

在这样的过程中，将学习的主动权交给了学生，而学生通过将低水平的直觉思维转换为高水平的逻辑思维之后，他们就会在寻求逻辑自洽的过程中发现自己原来所了解的其实只是故事的情节，与数学无关，而正是这种感觉会让学生的认知失去平衡，从而驱动他们进一步思考以寻求新的平衡. 正是因为这个过程，使得学生在建构数列基本概念的时候能形成一个较好的基础.

[?] 逻辑思维撬动数列的有效建构

在上面的阐述中其实已经涉及了逻辑思维，这也是没有办法的事，因为在学生的思考中，确实是做不到将不同的思维方式截然分开的. 但这里笔者还是想将其中的逻辑思维提取出来，以研究其对数学概念建构的作用.

在上面的两个例子打开了数列的大门之后，教师有必要告诉学生：在数学中按一定顺序排列的数就被称为是数列. 而对数列的研究，可以让数学的内涵更为丰富. 这样的简单叙述基础上，当然必须让学生接触更多的数列——事实上，上面的阐述已经暗示了自然界里存在的按一定顺序排列的数是多样的. 这里可以设计一个教学环节，即让学生去寻找生活中存在的数列.

这个环节的实质是让学生通过逻辑推理的方式，由数列的定义出发建构新的数列理解. 于是有学生提出：将1至100倒过来排列，那同样可以得到一个数列；将1至100前面增加一个负号，也可以得到一个数列. 于是自然也就有人会问：这些数列相同吗？教师则可以反问：这些数列是不是相同，不是教师说了算的，那要通过自己的思考去判断！在这个要求的驱动之下，学生会进一步思考：自己面前的这三个数列，要么从数的构成上来看是不一样的，要么排列顺序是不一样的，这种不一样其实体现为数列中的某种规律不一样，但是这种规律是什么呢？在学生思维到这一步的时候，他们往往是无法突破的，这个时候就需要教师提供帮助了. 笔者在这个时候，就是提醒学生：数列中的一些数常常表现出某种规律性，因此在表达数列的时候也常常会有一些具体的技巧，这种技巧就是用符号来表示数列，在此基础上教师向学生提供首项、通项等概念，并从集合与函数的角度来给数列以进一步的定义. 待到这一定义出现之后，学生发现原来数列还可以进行这种高度概括性的表述，于是对数列的理解就进入了一个新的层次.

在此时，一个不可忽视的教学环节应当是给点让学生去反思，新的数列理解是如何形成的，必须要让学生认识到在刚才的学习过程中其实已经经过了一番复杂的逻辑思考，因为自己的思维在不知不觉当中已经从几个特殊的数列例子，变成了对数列的一般性描述，而这种从特殊到一般的思路，正是高中数学学习的重要方式. 对于高中数学教学而言，这样的总结时间是必要的，是提升学生数学学习品质的一个关键.

当然，此过程中用到的具体的逻辑思维的方式是不必明示的，因为思维本身通常就是数学教学的暗线，只需要学生在用这种思维方式即可.

[?] 问题解决中多思维的共同运用

数列教学中遇到的另一个挑战就是问题解决中相关知识的运用，要让学生在新知学习中形成的知识体系与能力有效地迁移到问题解决过程中去，这需要教师在精选习题以作为学生思维台阶的基础上，进一步综合学生的思维方式，以形成合力效果. 这里仅就逻辑思维与直觉思维作一阐述，至于另一种重要的思维方式——形象思维，则不赘述.

数列概念构建完毕之后，最适宜呈现的自然就是与概念直接相关的数学问题. 比如，可以选择这样的一道习题：已知某等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2，求{an}的通项公式. 這样的试题在教学中主要起的作用就是巩固概念并向高层次问题过渡，通常不需要太多的时间，但不能忽视在问题解决过程中对学生思维的关注. 笔者通过观察发现，此时学生迁移困难主要体现在通项公式的假设上，这是一个看起来奇怪但很正常的现象，因为不少学生确实缺少根据数学概念形成数学问题解决思路的能力，而笔者之所以强调思维方式，其实也就是强调这个过程中能力的形成. 教师必须让学生知道，因为题目中明确指出了这是等差数列，因此我们（学生）的思维出发点，就应当是等差数列的通项公式，只有将题目中出现的信息与通项公式联系起来时，才会有清晰的解题思路.

显然，这种联系必须是一种直觉思维，而后的计算等则是逻辑推理的结果，这样的阐述背后，是直觉思维与逻辑思维在问题解决过程中的同时存在，前者决定解题方向，后者决定解题正确性. 再想想，是不是几乎所有的数学问题都是这样的？良好的解题一定是直觉思维决定方向，逻辑思维决定过程与结果，明白了这一点，以后的数学问题解决教学的思路也就清晰了.