不定积分中分部积分法的教学方法初探

李庆宾++薛均晓

摘要：分部积分法是计算不定积分的一个重要方法，也是高等数学教学中的难点。根据多年教学实践，尝试在分部积分法公式引入、方法应用等教学过程中，突破“主动讲与被动听”的模式，鼓励学生通过独立思考、主动探索的方式，理解并掌握该方法，逐步引导学生对分部积分法做分析、归纳和总结，切实提高大学数学课堂的教学质量。

关键词：不定积分；分部积分法；基本初等函数

一、引言

不定积分是高等数学中的一个重要部分，其学习效果的好坏直接影响学生对后续知识的学习。而分部积分法是计算积分的一类重要的、基础的方法。学生在学习这种方法时，有几个方面的困惑：一是对分部积分公式似懂非懂，二是对被积表达式的分解拿捏不准，三是对更进一步利用分部积分法解决复杂问题缺乏思路。究其原因，是长期以来教师在讲授本节内容时，往往采用“告知公式—证明公式—举例—练习”的教学模式，对学生缺乏必要的启发和引导。

二、分部积分法的初步学习

（一）精心设计导入例题，引出分部积分公式

如何计算积分 ∫xex2dx ？由于刚刚学习过第一类换元积分法，对于这道题目，学生很容易想到用x去凑x2的微分，得到 ∫ex2dx2 ，从而很快算出结果。然后教师提问，如果将上述积分稍加改变为∫xexdx，又该如何计算呢？这时受刚刚解题思路的影响，学生会主动尝试变形∫xexdx= ∫exdx2 （1），或者∫xexdx=∫xde2 （2），但都无法积分出结果。教师要让学生思考为什么这里换元积分法失效。学生经过探索比较后发现，“凑”完之后的被积表达式中，并未出现相同的函数，无法化繁为简，且微分符号d前后两部分的函数类型并未改变。此时，教师继续引导：等式（1）、（2）右端被积表达式的结构均为udv，众所周知，积分是微分的逆运算，学生不难想到，在两个函数相乘的微分公式中，有duv = vdu + udv，等式两边积分并移项得到∫udv=uv-∫vdu。教师要让学生进一步分析该等式的结构，使其发现在计算不定积分时可以用∫ f（x）dx = ∫udv = uv-∫vdu，由于先积分出来了一部分原函数uv，所以称这个等式为分部积分公式。

（二）验证分部积分公式的正确性

有了分部积分公式之后，教师可以让学生自己应用该公式计算上面的积分，并验证结果是否正确。可能学生一开始会选择接着式（1）计算， ∫xexdx= ∫exdx2= （x2ex-∫x2dex）= x2ex- ∫x2exdx，结果发现虽然确实積分出来一部分原函数，但新积分变得更复杂，再往下计算就毫无意义了。然后学生自然会想到换式（2）来计算，∫xexdx=∫xdex=xex- ∫exdx = xex- ex+ C，问题立刻迎刃而解，并且对xe x- ex+ C求导可以验证该结果是正确的。

学生通过亲自动手演算，一方面能够体会到分部积分公式在求原函数时的奇妙之处，加深对公式的理解和应用；另一方面，学生会发现在使用该公式时，恰当地选择u、 v至关重要，一是因为微分dv容易凑出，二是因为新积分∫vdu更容易计算出原函数。

（三）通过讲解例题，总结技巧和规律

为了使学生顺利使用分部积分法，结合基本初等函数的类型，我们首先设计四个习题，并适当加以引导和点拨，着重介绍分解被积表达式的思想和方法，然后让学生自己完成求解过程和规律的总结。

例1：计算 ∫x2 lnxdx

分析：这里被积函数是幂函数与对数函数相乘，但由于对数函数的原函数并不容易知道，所以学生只能选择幂函数去凑微分，于是就有原式 = ∫ lnxdx3= （x3 lnx-∫x2dx），新积分可以直接算出。

练习：计算∫x2 arctan xdx

分析：本题被积函数为幂函数与反三角函数的乘积，与例2特点一样，可以让几名学生到讲台前演板，这样既能充分调动学生参与课堂的积极性，又能让教师实时掌握学生对该知识点的掌握情况，

例2：计算 ∫x2 cos xdx

分析：这里被积函数是幂函数与三角函数相乘，并且两者凑微分都很容易，学生通过简单尝试不难发现，只能选择“动”三角函数，从而有原式=∫x2d sinx=x2sinx-2∫x sin xdx，新积分与原积分相比较，被积函数结构一样，但更简单（幂函数的幂次降低了），再使用一次分部积分法就可以得到积分结果。

例3：计算 ∫excos xdx

分析：本题与例2类似，但由于指数函数的导数和积分不变，而正弦、余弦函数的导数和微分互换（忽略正负号），因此，学生选择“动”ex或者cos x都可以。两次分解被积表达式，使用公式后，会再次出现原积分∫excos xdx，解方程即可以求得原函数族。

待讲解完例题之后，教师提问两个问题：一是分部积分法适合哪类题型，二是如何快速决定 ，学生通过例题的讲解和练习很快能够得到答案：第一，当被积函数是不同类的函数相乘时，可以考虑使用分部积分法；第二，选择不动量时，幂函数优于指数函数和三角函数，劣于指数函数和对数函数，因此，有一个便于学生记忆的口诀为“反对幂指三”或者“反对幂三指”。同时，教师应该让学生明白，当需要多次使用分部积分法解决问题时，第一次选择不“动”类函数，以后每一次分解被积表达式时，这类函数仍然作为 ，否则就会出现循环，致使得不到最终结果。

二、对分部积分法的再认识

（一）被积函数只有一类的情形

例4：计算∫ arctan xdx

分析：这类题比较特别，被积函数只有一个，可以看成是arctan x与1相乘，使用分部积分公式时arctan x就是 u，x就是 v。

例5：计算 ∫（x2+a2）n dx，（x>0，n>1，n∈N）

分析：被积函数为同一个函数的n次幂，无法拆开，只能将其看成是一个整体，因此有 In =∫ （x2+a2） n dx= （x2+a2） n + 2n∫（x2+a2） n + 1 dx =（x2+a2）n + 2n In - 2n a2In+ 1 ，解得递推公式，In+ 1 = 2na2 （2n-1）In + （x2+a2）n ，根据I1 = a arctan a + C，由递推公式可以得到所需要的结果。

（二）被积函数需要先作变形的情形

例6：计算∫ x tan2 xdx

分析：这里根据文中提到的 的优选顺序“反对幂指三”，应该选择x为 u，但三角函数tan2 x不好凑微分，怎么办？这里只有两个选择，要么重新选择tan2 x为u，要么通过恒等变形把tan2 x换掉。显然选择后者更加简单直接，即有原式=∫ x sec2 xdx - ∫ xdx=∫ xd tanx-∫ xdx式

例7：计算 ∫ sin 2x + 1 dx

分析：被积函数含有根号，学生很容易想到先作换元 去根号，原式=∫t sin tdt ，再使用分部积分法即可。

三、结束语

分部积分公式的引入比较自然，符合学生的认知规律，在教师的逐步引导和启发下，学生通过练习能够很快掌握这种方法，教学效果非常明显。依照“反对幂指三”的顺序选择也不是绝对的，只是分解被积表达式时的一个大的原则，也会有例外的情况。要想熟练使用分部积分法，学生还需要做大量的习题，不断积累经验，这样才能快速、准确地计算出积分结果，真正使数学能力得到提升。

参考文献：

[1]王林雪，路静文.国内外探究式教学的研究述评[J].

教育教学论坛，2015，（44）.

责编：清 欢endprint