巧用平面几何知识突破解析几何问题

洪燕春

【摘要】“数”具有概括性、抽象化的特点，而“形”具有具体化、形象化的特点，两者之间没有不可逾越的鸿沟.数形结合通过“以形辅数，以数解形”，使复杂问题简洁化，抽象问题具体化，从而达到优化解题的途径.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.然而在高中数学的学习中，解析几何虽常与作图联系在一起，但是学生仍然无法攻克，一来因为计算量大，考试时间有限；二来畏惧心理，直接放弃.其实采用数形结合思想，从平面几何的知识入手去突破解析几何问题能够大大地简化计算，提高解题速度，提高准确率，更能增强学生的信心.

【关键词】平面几何；解析几何；数形结合

一、以圆为背景

例1设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.

解析因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，

所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4.由题设得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24+y23=1（y≠0）.

涉及的平面几何知识：平行线性质（两直线平行，同位角相等）；等腰三角形的判定（等角对等边）.

二、以椭圆为背景

例2已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线L与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）.

A.13

B.12

C.23

D.34

解析设OE的中点为点C，∵△BOC∽△BFM，∴BOBF=OCFM，即为aa+c=OCFM.又∵△AFM∽△AOE，∴AFAO=MFOE，即为a-ca=MFOE=MF2OC，

2（a-c）=a+c，∴ca=13，故选A.

涉及的平面几何知识：相似三角形的对应边成比例.

三、以双曲线为背景

例3已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）.

A.2

B.3

C.7

D.333

解析|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，

由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2acos60°，∴e=ca=3，故选B.

涉及的平面几何知识：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形两对边平行；两直线平行，同位角相等.

四、以抛物线为背景

例4已知抛物线的焦点F到准线L的距离为P，点A與F在L的两侧，AF⊥L且AF=2P，B是抛物线上的一点，BC垂直L于点C且BC=2P，AB分别交L，CF于点D，E，则△BEF与△BDF的外接圆半径之比为（）.

A.12

B.32

C.233

D.2

解析∵BC∥AF，BC=AF=BF，∴四边形AFBC为菱形，即BA⊥CF，

将xB=3p2代入y2=2px，∴y=3p，∴∠BFG=60°=∠CBF，∴△CBF为等边三角形，CF=2P，且EF=P，又∵△CBD≌△FBD，∴∠DFB=90°，

又∵∠DBF=30°，∴DF=2P3，设△BEF和△BDF的外接圆半径为R1，R2，R1R2=EFDF=32，故选B.

涉及的平面几何知识：平行四边形的判定（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）；菱形的性质（菱形的对角线垂直平分）；等边三角形，特殊三角形性质.

以上4个例题分别是基于解析几何的圆、椭圆、双曲线、抛物线这样4个背景下的题型，较为完整地展现了解析几何与平面几何的结合，将数形结合思想的应用体现得淋漓尽致.若能在解析几何题目中，巧妙运用平面几何知识来找出突破口，解决问题，那么我们就能极大简化计算，能提高解题效率.可见，平面几何方法解决解析几何问题是一种巧妙的方式，值得我们深究.