高中数学中平面向量数量积概念的应用探究

朱纬

【摘要】平面向量是高中数学教学的重要内容，如何加深学生对平面向量数量积概念的理解，提高学生灵活应用这一知识的水平，是一线教师关注的重点.本文提出平面向量数量积概念应用策略，希望给平面向量知识的教学提供参考.

【关键词】高中数学；平面向量数量积；概念；应用；探究

高中生对平面向量知识并不陌生，在物理知识学习中有所接触，且高中数学有关平面向量的讲解较为系统，但做到对平面向量数量积概念的灵活应用并非易事，这就要求数学教师提高认识，采取针对性策略，结合具体实例详细讲解平面向量数量积概念的应用.

一、重视运算，理解向量本质

向量是一个既有大小又有方向的量，是矢量，这一点不难理解，如，物理学中的力.教材中给出平面向量数量积的定义：即，两个向量a，b，夹角为θ，那么|a||b|cosθ叫作a与b的数量积.定义较为简单，但如何使学生充分理解这一概念，做到灵活援用，需要教师在教学实践中，重视向量的运算的讲解，帮助学生掌握向量计算规律，切实打牢向量基础知识，为学生解答更为复杂的题目奠定基础，为此，教师可为学生讲解如下题目：

例如，相互垂直的单位向量i，j，满足关系式a-b=-8i+16j，a+b=2i-8j，求a·b.

此题较为简单，讲解该题目的目的在于帮助学生理解单位向量，以及向量的简单运算.解答时显然根据已知条件可将a，b两个向量求解出来，a=-3i+4j，b=5i-12j，由此不难计算出a·b=（-3i+4j）·（5i-12j）=-63.

通过讲解简单的运算题目，使学生理解向量基础知识后，可适当增加所讲题目的难度，进一步深化学生所学，为此教师可讲解如下题目，考查学生对向量知识掌握熟练的程度.

例如，a，b为两个不共线向量，模分别为3，2，并且向量a-2b和向量a+b相互垂直，要求计算向量a，b夹角的余弦值.

此题难度也不大，主要考查对数量积概念的灵活应用程度，由向量数量积定义不难得出cosθ=a·b|a||b|，因为向量a，b的模已给出，因此，只要求出a·b即可，因为向量a-2b和向量a+b相互垂直，不难算出cosθ=16.

高中数学教学实践中，教师应重视向量运算的讲解，加深学生对向量本质的理解，促进学生对向量知识的灵活应用.

二、数形结合，深入把握向量

高中数学教学实践中，教师不能将向量教学局限在讲解向量定义、计算规律方面，还应利用向量这一工具解决一些几何问题，使学生更加全面地理解与应用向量知识.为此，教师可讲解如下题目：

已知△ABC中（如图所示），AB和AD相互垂直，其中|BC|sinB=3，|AD|=1，求向量AC·AD的值.

此题目是向量与三角形相结合的题目，难度相对较大，要想顺利解答出题目，需要学生熟练掌握向量基本运算知识.根据已知条件解答过程为：AC·AD=|AC|·|AD|cos∠DAC=|AC|·cos∠DAC=|AC|sin∠BAC=|BC|sinB=3.

通过讲解该题目使学生更加灵活地应用所学向量知识，使学生明白向量夹角cosθ可以和三角函数知识联系起来，从而应用到解答三角形相关的题目中.另外，教师还应为学生讲解向量与三角形各心之间的关系，迅速解答出相关数学题目.如，△ABC中存在一点G，如果向量GA·GB=GA·GC=GB·GC，那么可知G为三角形的垂心.

三、积极探索，鼓励主动学习

平面向量数量积概念的应用还体现在与其他数学知识点的结合中，難度一般较大，因此，教师应通过讲解一些向量综合性的题目，鼓励学生不断探索，理清向量与其他数学知识的关联，帮助学生掌握有关向量的更为复杂的题目.例如，在学生掌握向量数量积概念后，教师可讲解如下题目：

设f（x）=a·b，向量a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），x∈R.（1）当f（x）=1-3，且x∈-π3，π3，求x；（2）当函数y=2sin2x图像，按照向量c=（-m，n）|m|<π2平移，得到y=f（x）的图像，求实数m、n的值.

此题目属于向量数量积概念应用的综合题目，与三角函数、函数、函数图像平移相结合，因此，教师应进行详细的讲解，列出相关的解题过程.第（1）问解题过程如下：

由题目不难得出f（x）=2cos2x+3sin2x=1+2sin2x+π6，又因为f（x）=1-3，可得sin2x+π6=-32，又因为x∈-π3，π3，不难解出x=-π4.解答第（2）时，根据题意，函数按照向量c平移后，得y=2sin2（x-m）+n的图像，即y=f（x），对比可知，m=-π12，n=1.

该题目讲解完成后，教师还可适当改动已知条件，鼓励学生进行探索，以全面掌握该种题型的解答思路与方法，提升向量知识的应用熟练程度.

四、总结

高中数学平面知识教学中，教师应注重向量数量积概念应用的教学，使学生掌握向量试题的解答方法，帮助学生切实打牢基础知识，使向量成为解决复杂数学问题的有效工具，教师尤其应注重向量运算教学、向量与几何结合相关的题型.同时，还应注重一些综合习题的讲解，鼓励学生勇于探索，提升学生应用向量知识的能力.

【参考文献】

[1]胡秀伟.高中数学平面向量问题图式的研究[D].济南：山东师范大学，2015.

[2]李艳.新课改下高中数学向量的教学研究[D].大连：辽宁师范大学，2014.

[3]侍昌亚.浅谈对高中数学平面向量的认识[J].高中数学教与学，2013（16）：11-12.