小学生数学“思维经验”的习得策略

陆志杰

摘 要：数学思维经验是学生解决数学问题的营养基，是孕育学生创造性思维的温床，思维经验的积累能够有效引领、助推学生的数学学习。在数学教学中，教师要有意识地帮助学生从已有知识、点状知识以及相关知识中积累思维经验，发展思维经验，提升思维经验，依次助推学生数学学习，不断促进学生数学核心素养的形成。

关键词：数学学习；思维经验；习得策略

美国著名教育家杜威先生在《民主主义与教育》中曾经这样说：“教育即学生经验的改造或重组”“一盎司经验胜过一吨理论”。事实上，学生的经验不同于知识，知识是系统性、公共性的，而经验则是碎片化、个体性的。经验亦不同于能力，能力是外显的，而经验则是内隐的。学生的数学活动经验包括“实践经验”和“思维经验”。所谓“思维经验”，是指学生在思维活动中所产生的过程性体验，这种过程性体验是一种素朴的、直接的感性认识。学生数学思维经验是孕育学生创造性思维的温床，可以有效地引领、助推学生的数学学习，促进数学素养的提升。

一、直观：从已有知识中孕育思维经验

学生数学思维经验是学生数学活动的伴生产物。学生数学学习总是在学生已有知识基础上的再建构、再创造。教师可以引导学生从已有知识中孕育思维经验。如在学生的数学学习中，教师可以引领学生展开思考：这部分新知和什么有关系？有什么关系？这种关系对吗？怎样验证？……这样，通过一系列对新知的感知、审视和对旧知的反思、回顾，学生能够从已有知识中孕育思维经验，促进新的认知。譬如，对于《平行四边形的面积》这一教学内容，教师可以先画一个平行四边形，让学生思考：平行四边形的面积与平行四边形的什么有关？学生根据直观图以及长方形面积的相关知识，纷纷产生自己的数学猜想：底×邻边、高×邻边、底×高等。然后教师可以给学生提供一个活动的平行四边形框架，学生在推拉平行四边形框架的过程中不难形成这样的认识：平行四边形的面积在不断变化，极端情况下平行四边形似乎变成了一条线，面积约等于零。平行四边形的底以及邻边始终没变，只有高发生了变化，因此平行四边形的面积与高一定有关系。那么，平行四边形的面积与高之间到底有怎样的关系呢？接着，教师可以引导学生抓住高，展开深度探究，将平行四边形放到方格图上，用数方格的方法对猜想进行逐个筛选，产生“平行四边形的面积等于底×高”的初步结论。在数方格的过程中，由于有些格子不满1格，有学生自然地想到剪切、平移，转化成整格数来数。在这个过程中，学生萌发了对平行四边形进行剪、移、拼转化成长方形的问题解决思路，为正式的数学实验奠定了思维活动基础。最后引导学生展开数学操作，将平行四边形转化成长方形。学生有的将平行四边形分割成一个直角三角形和一个直角梯形，有的将平行四边形分割成两个直角梯形。在这个过程中，学生深刻感受到，只有沿着高剪开，才能产生直角，否则如果斜着剪，平移后还是平行四边形。至此，学生领悟到必须沿着平行四边形的高进行剪、移、拼的合理性，数学的思维经验得到了提升。

直观开启了学生数学发现、数学探究的大门。学生正是在观察、联想、想象中孕育出丰富的思维经验。尽管这种经验是懵懂的，需要教师的帮扶，但这是学生基于自己已有知识经验基础上的主动发现、探究，因此倍显珍贵。在不断实践中，笔者越来越真切地感受到：学生的已有知识是孕育数学思维经验的孵化器，这种萌发出的思维经验能够逐步让学生的数学认知从模糊走向清晰，并不断深入，最终形成对数学知识的深刻洞察。

二、反思：从点状知识中发展思维经验

围绕一个个具体的知识点而生发的思维经验，我们称之为“点状经验”。这种点状的思维经验是感性的，也是极不牢固的。如何让学生的感性的思維经验走向知性，如何固化他们点状的思维经验，在教学中，笔者尝试有意识地引导他们对已有的思维经验展开反思，让他们对自我的思维经验进行梳理、组织，以求形成稳健的思维基础。例如，在教学《三角形的内角和》一节时，我们通常选择的教法是：教师首先引导学生量三角形的三个内角，并算出内角和，在此基础上让学生提出各自的猜想，然后运用各种方法对猜想进行验证，如剪拼法、折叠法、作平行线法等，最后形成数学结论。在整个数学实验过程中，教师注重的是探究方法的多样化。其实，在教学中，我们更应该对各种探究法进行反思，寻找各种探究法背后的共同特点、思维方式，即“为什么要测量？”“为什么剪拼？”“为什么要折叠”等。通过这些对数学操作本质的反思，学生的数学思维将会被我们向纵深处推进。课堂上，学生通过小组合作比较，深入理解了操作背后的数学本体性目的：量角的目的是为了求三个角的和；拼折角的目的是为了将三个角放在一起，形成平角。因此，无论是“测量法”还是“剪拼法”“折叠法”等，都是为了同样的目的——把三个角“合”起来，“合”是隐藏在其中的数学思维经验。在这里，反思比操作更重要，因为反思能够让学生的思维经验得到提升。如在《三角形的面积》教学后，笔者还引导学生做适度拓展，将“三角形的内角和”向“多边形的内角和”进行拓展。由于学生刚刚学习了“三角形的内角和”，因此部分学生迅速萌发了将多边形分割成三角形的想法。在学生合理的数学猜想基础上，教师引导学生展开数学操作。学生将多边形分成了若干个三角形。但是，有的分法不是从多边形的一个点出发的，有的分法却是从一个点出发的。引导学生进行比较，学生发现，从一个点出发更有序、更科学、更易于操作。对于拓展性问题，教师可以点燃学生的思维火把，让学生将之带至课后继续探究。这时候的学生，其思维已不再停留在机械的操作层面，而是有了更深的数学内涵、意义和价值。

我们孜孜以求的是，学生对数学知识的认知不仅要“知其然”，更要“知其所以然”，要深入数学知识的腹部，深入数学知识的灵魂深处。在数学教学中，积极有效地引领学生对数学知识的探究过程展开反刍、咀嚼，可以切实培养学生的反思意识，形成学生的反思习惯，继而在他们主动地反思与追问中发展数学思维经验。

三、类化：从相关知识中提升思维经验

数学是一门系统性、结构性很强的学科。一般情况下，教师往往关注知识点的联结。其实，如果从思维发生的机理来看，许多相关知识的思维基础也是相通的。教学中，教师要打通不同知识点背后的思维脉络，帮助学生形成“思维链”。思维经验的整合即是对思维经验进行类化、联结和结构化。像苏教版小学数学教材里，小数乘法、除数是小数的小数除法、平行四边形面积、梯形面积、圆的面积等知识考量的是学生的转化思维；“数的组成”“数线段”“数图形”“搭配的学问”“鸡兔同笼问题”等知识考量的是学生的有序思维，即“既不遗漏，也不重复”；数的组成、多位数乘一位数的简便运算、组合图形面积的计算等知识考量的是学生分与合的数学思维；间隔排列、周期问题、平移中的对应点、轴对称图形关于对称轴的对称点、分数的乘除法应用题中量和率的对应等知识考量的是学生的对应思维等。教学中，教师要有意识地帮助学生类化相关知识，积累思维经验。

以“转化思维”的经验培养为例，在苏教版小学数学教材中，五年级上册学习小数乘法，必须引导学生转化成整数乘法，除数是小数的小数除法必须引导学生转化成除数是整数的除法；五年级上册学习的平行四边形面积，必须引导学生转化成长方形的面积，三角形、梯形面积等必须引导学生转化成平行四边形的面积，由此积淀学生转化的思维经验。如此，学生到了五年级下册学习圆的面积时就能有意识地探寻将圆转化成已学的图形，如长方形、平行四边形、梯形、三角形等。而在六年级下册学习圆柱体积、圆锥体积时也能自然地萌發转化的思维策略。

在数学教学中，尽管知识外在的表征形态各不相同，但许多知识都蕴藏着共同的数学思维模式。教学中，教师要打破知识关节，打破知识壁垒，甚至打破知识界别，寻找不同知识背后相同的思维节点，帮助学生积累思维经验，探寻形成不同数学知识的共同思维模式，形成思维链、思维块等，由此将学生的低阶思维提升至高阶思维。这些高阶的数学思维经验是学生解决数学问题的营养基，能够有效地内化为学生的数学核心素养，引领、助推学生的数学学习。

总之，作为一种策略性、方法性、模式性的数学活动经验，学生的数学思维经验的形成不是一蹴而就的，它是一个不断深化、提升的过程。有些思维经验更需要学生在运用中才能走向深刻、走向灵活。因此，教学中教师要充分提供变式，给学生提供运用数学思维经验解决数学问题的机会，让学生不断积淀思维经验、发展思维经验、提升思维经验。