把握教学时机渗透极限思想

陈炎

[摘 要] 数学思想方法是数学学习的核心价值，是解决问题的行为指南. 思想方法非无本之木，它深深扎根于数学知识和学习的过程中. 极限思想是数学思想方法之一，在中学阶段具有较广泛的用途和学习价值. 通过把握教学时机，寻找合适的契机，适时渗透数学思想方法，能促进学生数学素养的提升.

[关键词] 教学时机；极限思想；案例分析；渗透

问题提出

《义务教育数学课程标准》（2011版）（以下简称《课标》（2011版））指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律. 它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法. ”数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是数学的精髓所在. 数形结合、函数、方程和整体思想等在数学学习中具有较高的地位，教师经常提，学生也经常用. 但在初中阶段，对于极限思想，教师引导得不够，学生体会得不深，实践比较匮乏，但当学生进入高中学习时，又有较多的知识需要用极限思想统领、较多的问题需要用极限方法解决，如微积分等，学生会感到比较“突然”. 着眼于学生的可持续发展，作为教师，我们是否可以作一些尝试，在初中阶段即时、适时地渗透极限思想，为学生的将来发展做铺垫呢？

问题分析

極限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用. 借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从量变认识质变，从近似认识精确，极限思想的重要性可见一斑. 实际上，在初中阶段的教学中有不少领域都有极限的“影子”. 那么，如何对学生进行极限思想的渗透呢？直接告诉？显然苍白无力，学生感触不深；抓住时机，则事半功倍. 时机是指在教育过程中事物发展或一事物转化为他事物的关键点、枢纽站、决定性的环节. 正如将15克盐放在你的面前，无论如何你都难以下咽，但将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你就会在享用佳肴时将15克盐全部吸收了. 汤，就是教师精心设计的“助力器”，享用佳肴就是“润物细无声”的过程，最终实现了目标——盐的吸收. 教师通过创设适宜情境，选择恰当的载体，抓住有力的时机，能在经历过程的教育中，对学生渗透极限思想.

尝试解决

基于问题所在和对问题的分析，下面笔者以学生为主体，从学生的角度出发并结合笔者的教学实践，浅谈渗透极限思想的时机，旨在交流、分享.

1. 在学生认知冲突时顺势利导

认知冲突就是个体意识到个人认知结构与环境或个人认知结构内部不同成分之间不一致时所形成的状态；是学生已有的知识经验与现实情境不相符时在心理上所产生的矛盾或冲突. 教学中，对于一个新的知识学习的必要性以及一个新的方法的产生，教师往往会创设一种情境，通过引发学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和探究欲，此时渗透极限思想，学生的认识会更深刻.

案例1 求+++…+的和（其中n是正整数）.

师：求+.

生1：结果是.

（反应迅速）

师：正确. 那++呢？

生2：.

（学生似乎反应慢了一点）

师：很好，计算能力还是挺棒的！那+++…+呢，其中n是正整数？

（此时学生一脸惊愕，惊呼后即安静地埋头思考并演算. 2分钟后，有学生举手）

生3：和是.

师（追问）：能把你的思考过程和大家分享一下吗？

生3：其实很简单，起始值是，接着是，然后是，归纳、猜想可得所求式子的和是.

师：了不起，你的归纳能力很强！但是数学是一门严谨的学科，归纳、猜想后，还应做什么？

生（齐）：证明.

生4：设S=+++…+①，则S=+++…+ ②，①-②得S=-，所以S=.

生5：图1为边长为1的正方形，先对图形对折，并在剩余的图形里继续对折……则借助求解阴影部分的面积可得+++…+=1-=.

案例分析 先从两个较简单的计算入手，学生快速进入状态，为后面的探究做好心理铺垫和信心支持. 然后问题推广到一般以后，学生感觉较为棘手，引发认知冲突，促进学生主动思考并积极寻找解题的方法. 在问题解决的过程中，学生经历了左边等式的n项和可求，并从数、形两个角度给出了求解方法，一方面锻炼了学生克服困难的勇气，渗透了数形结合思想；另一方面，对于生5的回答，教师可以追问：当n趋向于非常大的数值时（暂不适宜提“无穷”大），算式的结果是什么？从图中可以直观地看出此时的和即为大正方形的面积，结果为1，凸显极限思想. 此题实际上是高中要学习的等比数列前n项和的求法，但放在初中阶段，按照现有学生的认知水平，也能顺利解决；同时对学生的诸多能力都有促进作用，何乐而不为？

2. 在学生认知错误时将错就错

心理学家盖耶说过：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻. ”学生在学习过程中难免会出现错误，所谓“人非圣贤，孰能无过？”更不用说我们面对的是一群未成年的孩子. 教室应该是容许错误发生的地方，“错误”但不错过.

案例20.=1.

（出示0.=1？）

师：左右两边相等，可能吗？

生（齐）：不可能.

师：那么这两个数谁大呢？

生1：当然是1呗！

师：既然0.<1，那么哪位同学能找一个数，介于这两个数之间？

生2：这还不简单？0.9999……哦，不对！

（学生刚一随口说完，发现问题远不像想象中那么简单，立刻否定了之前的回答）

生3：这个数是不存在的，因为0.与1之间没有“缝隙”，所以0.=1.

师：我们要为该同学良好的数学推理能力点个赞（同学们笑）. 该同学提出了与大家不一样的观点，可是有没有更直接的方法来证明这一结论呢？

生4：设0.=x，则9.=10x，两式相减得9x=9，所以x=1.

（热烈的掌声自发响起）

案例分析 在本案例中，针对学生普遍会犯的错误，教师没有直接“纠错”，而是顺水推舟，将错就错. 教师追问：“既然0.<1，那么哪位同学能找一个数，介于这两个数之间？”通过问题的指向，学生会立即发现此数难以找到，引发学生的思维碰撞，感性的认识需上升到理性思考. 通过借助一元一次方程这一刻画现实世界的有效模型，最终将问题很好地解决. 在这一过程中，学生有这样几点收获：（1）想当然并不可靠，直观感受不一定正确；（2）方程在解决实际问题中有广泛的应用；（3）无限（0.）与有限（1）的和谐统一，学生能初步体会到极限思想的存在. 另外，在这一案例的基础上，教师还可以进一步引导学生体会极限思想，如·=4（无限乘以无限等于有限）等. 因此，当发现学生错误时，教师若能认真对待，不回避、不埋怨，抓住稍纵即逝的教育时机，与学生一起分析错因，寻求正确之道，不仅能够促进教师的课堂驾驭能力，而且能促进学生主动地思考、辨析. 在这一过程中，渗透极限思想，效率会大幅提高.

3. 在学生解题无助时雪中送炭

学生学习的过程中离不开解题，也经常会遇到不会做的习题. 此时，学生非常渴望得到点拨与帮助，教师此时伸出“援手”，“雪中送炭”之情将加深学生对解决问题方法的认识与理解.

案例3 （2015年河池中考）如图2，菱形ABCD的边长为1，直线l经过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，则+=______.

（直接出示问题，教师巡视，2分钟后学生依然解题思路不清晰）

师：从此题的结构来看，所求线段倒数和与线段所在位置无关，可尝试先将问题特殊化，然后再寻求一般解法.

（在教师的启发下，部分学生尝试作图，生1上黑板上画出图形，如图3）

生1：将直线l的位置特殊化为平行于AB，即点N与点D重合，l与AB没有交点，此时==1，但的值不确定.

生2：我认为=0.

师：说说你的想法.

生2：，，…随着分母的增大，分数的值越来越小，越来越接近0，l与AB没有交点，所以AM非常大，所以=0，因而+=0+1=1.

案例分析 在学生最需要的时刻，教师悄然出现，所带来的启发更容易引起共鸣. 华罗庚先生说过：“解题时先足够地退，退到我们最易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去.”在解决此题的过程中，先将问题特殊化，得到一个“极端结果”，然后从特殊到一般，在此过程中积累的经验将有利于一般情况下的问题解决. 在特殊化的操作中，学生感到困难的是（当AM→+∞）的值，而学生的潜力是无穷的，借助生2的精彩发言，将问题巧妙地转化、化归. 教师没有“一言堂”，通过启发式教学，学生自己完全有能力解决. 极限思想，其实是解题的需要.

4. 在学生综合实践时锦上添花

综合实践是新一轮基础教育改革的新生事物，是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 它是一种基于学生的直接经验，体现知识综合运用的课程形态.

案例4求抛物线y=-x2+1与x轴所围成图形的面积.

生1：如图4，以AB为直径作半圆，以半圆的面积来近似求面积，可得S=π·12=π.

生2：如图5，连接AC，BC，以△ABC的面积来近似求面积，可得S=×2×1=1.

生3：如图6，取OB的中点E，过点E作DE⊥x轴于点E，交抛物线于点D，连接CD，BD，

所以所求面积近似为S=

2××+1+××=.

生4：如图7，将OB三等分，分点分别为E，G，分别过点E，G作x轴的垂线，与抛物线分别交于点D，F，则所求面积近似为S=2××+1+×

×++××=.

生5：如图8，作矩形ABCD，则S=2，然后在矩形区域内随机投掷米粒，当次数足够大时，记下落在矩形区域内的米粒数为m，落在抛物线区域内的米粒数为n，则=，所以S=.

案例分析 《课标》（2011版）指出：“综合与实践内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力. ”生1、生2、生3、生4都给出了解决的办法，可以说是越来越精确，而生5却另辟蹊径，通过实验的方法求面积，实在是一大亮点. 对于初中生来说，这样一个实践活动的处理方案，没有现成的方法可供借鉴，需要学生充分利用已有的知识储备，寻求解题之路. 所谓仁者见仁，智者见智. 标准答案是（-x2+1）dx=，至于学生能够精确到什么程度，已经不是最重要的了. 活动的关注点是：在尝试解决这一问题的过程中，学生究竟采用了什么方法，有哪些创造性的成分，用到了什么数学思想，能力有没有得到锻炼与提升等. 此时，教师在学生探究热情高涨的情况下，适时引导、拔高，将起到锦上添花的效果. 如方法中用到的以直代曲，渗透的极限思想；学生做到三等分点，就不想继续了，而古人祖冲之计算圆周率的艰辛以及刘徽“割圆术”的坚持不懈都可以给学生以触动等.

教学启示

1. 数学思想方法的重要性

数学思想方法是数学大厦的基石. 日本著名的教育家米山国藏指出：“作为知识的数学，出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究方法等，这些将随时随地发生作用，使人们终身受益. ”的确，数学知识是定型的、静态的；知识的记忆是暂时的；而思想方法的掌握是永久的. 《课标》（2011版）也指出：“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验. ”简称为“四基”. 因此，在平时的教学过程中，教师要深刻认识到数学思想方法的重要性，并能够将其作为培育学生核心素养的内容，精心设计、经历过程，促进学生能力的提升.

2. 极限思想教学的必要性

极限思想是数学思想方法的重要组成部分，且教材中蕴含了体现极限思想的丰富内容，但是在当前的教学中，极限思想没有得到很好地提炼，学生对极限思想还比较陌生. 而通过以上几个案例，笔者可以切身感受到极限思想的“无处不在”，同時它还与数形结合、从特殊到一般等紧密联系在一起，体现了关联性. “不是缺乏美，而是缺少一双发现美的眼睛.”教师要能够从平时的素材中捕捉、提炼、引导、教育，促进学生极限思想意识的提升，这不仅能丰富学生对数学思想方法的认识，而且有利于学生形成“数学式”的思考方式.

3. 极限思想教学的科学性

“皮之不存，毛将焉附？”极限思想不是空中楼阁，它扎根于“基层”，与数学知识紧密相连，空洞的强调、枯燥的说教极限思想的重要性，学生记不住，感受也不深. 选择合适的载体，抓住适宜的时机，选择更加科学的教学方式，有利于学生高效地领悟极限思想和运用极限思想，从而有助于学生认同并自觉应用极限思想.

《庄子》有言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭. ”可以认为这是朴素的极限思想. 在极限思想的教学研讨之路上，只要我们不断努力，一定能够实现“有限尝试的无限未来”！