代数运算在逻辑推理中萌生*

●安振平

(咸阳师范学院教育科学学院，陕西 咸阳 712000)



代数运算在逻辑推理中萌生*

●安振平

(咸阳师范学院教育科学学院，陕西 咸阳 712000)

文章通过两道数学问题，探究了代数运算过程中逻辑思维萌生的缘由，为学习解决数学问题、展开数学思维的逻辑推理，进行了有益地实例思考.

变形化归;代数运算;逻辑推理;萌生

学习数学需要积累基础知识、总结解题方法、提炼数学思想.在模式识别、差异分析的过程中，进行不断地变更、变形、转化和化归，实现陌生问题熟悉化、抽象问题具体化、复杂问题简单化.运用逻辑推理的力量实施代数运算、几何直观，以及数与形二者的双向沟通.本文通过对具体问题的解题分析，谈谈笔者的一些思考，愿对读者有所启迪.

例1 过定点P(2，1)的直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，则△OAB周长的最小值为

( )

A.8 B.10 C.12 D.45

例1是某地区2010届高中毕业生调研考试的一道测试题.关于该问题的讨论在一些刊物上虽已多见，但寻找简单明了的适合高中生学习实际的解答方法，依然是一个值得探究的有趣话题.

巧妙解答 设△OAB的周长为p，利用柯西不等式和二元均值不等式，得

解得

一般解答 引入待定正的参数m,n满足m2+n2=1.利用柯西不等式和二元均值不等式，得

(添加因式，创造用柯西不等式的环境)

a+b+ma+nb=(用柯西不等式“化掉”根式)

(用二元均值不等式).

等号成立的条件为

解得

学习数学、体验数学、感悟数学的进程中，需要多问几个为什么？问题的条件是什么？解题目标是什么？为什么要这样去实施变形？不这样变形行吗？根据自己的已有知识经验，你还有其他解答方法吗？比如：对上文的变形问题，你能用条件“解代消元”后，转化为一元函数，运用求导方法解答吗？

待定系数法是数学解题的通性通法，你能感悟到其中的解题机智、解题智慧吗？我们不妨再举一例说明之.

本题为第二届(2011年)陈省身数学奥林匹克竞赛试题第6题，对左边不等式可以用配方法证之；对右边不等式，同样可以利用二元均值不等式，并结合待定系数法实现证明.

证明 先证左边不等式.因为

3(x2+y2+2z2)+2(3xy+yz+zx)=(作差变形)

3x2+3y2+6z2+6xy+2yz+2zx=(代数变形)

6z2+2(x+y)z+3(x+y)2=

(整理为主元z的二次三项式)

再证右边不等式.利用二元均值不等式，得

从而

因此 2(3xy+yz+zx)≤ (3+a2)(x2+y2+z2)=

即

其实，应用均值不等式解题，其要害是平衡系数、分配因子，而待定系数法能化“未知”为“可知”，实现问题的化归.作为解题的通性通法，配方法和待定系数法是基本的、常用的，在学习过程中，应多加关注和重视.

从方法到能力、到思想，需要不断地、反复地思考、探究、琢磨和总结，且行且思，我思故我在，唯有深思、远思、勤思，方可通过有限道问题的演练获得解答无限道问题的思维智慧.

�2017-05-22；

2017-06-30

安振平(1961-)，男，陕西永寿人，陕西省特级教师.研究方向：数学教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)08-30-02