椭圆标准方程的推导及教材改进的建议*

●周顺钿

(杭州高级中学，浙江 杭州 310003)



椭圆标准方程的推导及教材改进的建议*

●周顺钿

(杭州高级中学，浙江 杭州 310003)

为检查和评估青年教师的教学业务水平，学校以《数学(选修2-1)》第2.2节“椭圆”为课题，进行教学展示.从教学效果看，青年教师对教材的理解、处理等方面存在一些不足，对教材中内隐的知识不能进行有效挖掘，这一方面说明青年教师的成长需要得到指导，另一方面也说明教材也有需要改进的地方.为方便教材从学术形态转化为教学形态，建议在教材设计中以旁白、想一想、思考等不同方式对教材中隐晦的结果给出显性的指示，以帮助更多青年教师迅速走上正确的教学轨道.

运算；推理；拓展；引伸；改进；建议

教师是学校最丰富、最有潜力、最有生命力的教育资源，而青年教师更是学校的宝贵财富，是学校的未来和希望，青年教师的培养是教育教学质量可持续发展的关键环节.随着学校规模的持续扩大，青年教师的队伍也不断壮大，为提高青年教师准确把握课标、正确处理教材和灵活运用教法的能力，学校以“椭圆的标准方程”为课题，通过同课异构的方式汇报交流，对青年教师的教学素养进行考察.在教学过程中，青年教师能基本达成课程目标，但对教材的重点和难点的把握不够精准，对教学时间的掌控能力也有待提高.

本节课的核心是椭圆标准方程的推导过程，需要突破3个难点：1)椭圆定义如何产生；2)椭圆的标准方程如何推导；3)从椭圆标准方程的推导过程中能提炼出椭圆的哪些几何特征.文章就上述3个问题，对教师的教学及教材的改进给出一些意见和建议.

1 椭圆定义的产生

通过引言以及日常生活的体验，让学生了解椭圆的直观形状.但为了让学生能自然地产生椭圆的定义，建议先让学生进行一番由浅入深的探究.

探究1 取一条定长2a的细绳，把它的两端固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察笔尖(动点)画出轨迹的形状.

探究2 在探究1中，把细绳的两端固定在图板的两个点处(如图1)，保持细绳松弛，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察笔尖(动点)画出轨迹的形状.

图1

探究3 在探究2中，当细绳两端间的距离增大或缩小时，观察笔尖(动点)画出轨迹的形状如何变化.

由于课堂时间的限制，建议课前将上述3个探究提交给学生，并将学生的探究结果通过投影仪(或多媒体)呈现在课堂上.

探究1的结论 笔尖(动点)画出的轨迹是以固定点为圆心、a为半径的圆周.

探究2的结论 笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆，F1,F2为椭圆的两个焦点.

探究3的结论 记细绳两端间连线的长度为2c：当a=c时，细绳拉紧，笔尖(动点)画出的轨迹是线段F1F2；当a>c>0时，笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆，若c→a，则椭圆越扁平，若c→0，则椭圆越接近于圆.特别地，当c=0时，笔尖(动点)画出的轨迹是圆；当c>a>0时，细绳将崩断，这样的轨迹不存在.

上述探究过程可以借助信息技术的动态演示，增强学生的直观感知效果，加深对“常数要大于|F1F2|”的理解，进而让学生归纳出椭圆的定义.

椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.

奥苏伯尔说:影响学生学习新知的最重要因素是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并据此展开教学.由于学生对椭圆的定义找不到“感觉”，因此教师提供适宜学生学习的探究素材是十分必要的，不能进入学生视野的东西就不可能使他们主动学习和探究.

《义务教育数学课程标准(2011)》提出：“数学教学不是把现成的结论教给学生，数学教学是数学活动的教学，要引导学生自己寻求知识产生的起因，探索它与其他事物的联系，在探索过程中形成概念、寻求规律、获得结论.”这充分阐明了数学教学要重视学生在学习活动中的主体地位，要让学生参与知识产生、发展和应用的全过程，要为学生设计有助于促进思维发展的问题，激励学生更加积极地参与教学活动.

2 椭圆标准方程的建立

椭圆标准方程的推导过程是本节课的核心，需要学生认真推理，从而培养学生缜密的逻辑推理能力.这个过程笔者倾向于让学生在课堂上即时推导，但也可以作为探究4在课前一并交给学生，然后将结果在课堂上用投影仪进行展示.

探究4 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于2a(其中2a>|F1F2|)的点的轨迹方程是什么？

思考 类比圆的标准方程，怎样建立直角坐标系能使椭圆方程更加简洁？

由于前一课时授课内容为“曲线与方程”，课堂反馈学生普遍了解求曲线轨迹方程的基本步骤：建、设、列、代、化、验.

图2

建系 观察椭圆图形的对称性，以F1F2所在直线为x轴、F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图2).

设点 设M(x,y)，F1(-c,0),F2(c,0).

列式 椭圆满足集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

代入

(1)

化简 两个根式放在一起，给学生的恒等变形带来极大的挑战，化简的关键在于去根号，学生直觉感知式(1)两边直接平方会较繁，为均衡起见，采取移动一个根式到右边，再两边平方去根号.

方法1 移项

两边平方整理

(2)

再两边平方整理

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

两边同除a2(a2-c2),得

类比直线方程的截距式，令b2=a2-c2，得

(x2+c2+y2)2-4c2x2=[2a2-(x2+c2+y2)]2，

展开整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

下同方法1.

方法3 从有理化的角度处理.由式(1)可知

(3)

式(1)+式(3)，得

(4)

式(1)-式(3)，得

(5)

图3

式(2)与式(5)的本质相同，下同方法1.

验证 略.

如果学生在课堂上即时推导，建议给学生以充足的时间，静待花开，常常会有意想不到的收获.

章建跃博士认为：数学学习的基本任务是学会运算和推理，运算离不开推理，推理在高中乃至整个基础教育阶段的数学学习中的展现形式就是运算，“能推理，会运算”是数学学习中需要养成的基本素质[1].在椭圆标准方程的推导过程中，许多学生面对“复杂”的运算无从下手，需要教师引导他们挖掘信息、走出困境，此时学生收获的不仅仅是解题技能的提高，更是思维水平的提升和数学学习兴趣的激扬.

3 挖掘椭圆标准方程推导过程中隐藏在代数式背后的几何特征

由于时间有限，青年教师在课堂中均没有对椭圆标准方程的推导过程作进一步研究，事后询问执教教师，也没有对推导过程进行继续探究的打算.事实上，椭圆标准方程的推导过程是一座丰富的矿藏，其代数式背后蕴藏着重要的几何特征，具有十分重要的教学价值.

特征1 焦半径公式.

式(4)和式(5)表示椭圆上点M到左、右焦点的距离，俗称焦半径公式

这也可以从式(2)得到.由椭圆标准方程易知，-a≤x≤a，于是

a-c≤|MF1|≤a+c，

当点M位于椭圆长轴上的端点A1处时，

|MF1|min=a-c，

当点M位于椭圆长轴上的端点A2处时，

|MF1|max=a+c.

这与教材第49页A组第9题涉及的“近日点”“远日点”两个概念相互印证.

特征2 椭圆的第二定义.

由焦半径公式变形得

这与教材第47页例6相互印证.

评注 为了控制难度，教学时可以不向学生提出椭圆第二定义的概念.

特征3 椭圆上的点(异于长轴上的端点A1,A2和短轴上的端点B1,B2)与椭圆对称轴端点连线的斜率之积为定值.

即

即

同理可得

这与教材第41页例3相互印证.

即

亦即

事实上，上述3个几何特征在教材例题和习题中均有要求，这些关系在椭圆标准方程的推导过程中均可顺利得到，它既可以激发学生的学习兴趣，也可以培养学生深入思考的良好习惯，何乐而不为？

如果学生能够对焦点△MF1F2继续研究，那么还可以得到以下二级结论:

椭圆是高中教学中极其重要的教学内容，把椭圆教好了、教活了，那么接下来学习双曲线和抛物线就容易多了，学生也有了类比探究的可能和兴趣.4 改进椭圆标准方程推导的教材内容的意见和建议

教材不同于学术专著，就在于它不仅要保证科学性，还要考虑使用者的可接受性.为了方便教材从学术形态转化为教学形态，让青年教师快速掌握椭圆教学的要领，建议在教材处理时能以“旁白”“想一想”“思考”等多种方式给出较为明确的指向，将例(习)题中隐晦的提示变为显性的启发，以帮助更多青年教师快速领悟编者的意图.

4.1 对椭圆焦半径公式的处理

建议在教材第39页椭圆标准方程的推导过程边上，以“旁白”的方式给出：在椭圆的标准方程的推导过程中，你能用点M的横坐标x表示点M到两焦点的距离|MF1|，|MF2|吗？它们的最大值和最小值是多少？

在这里，是否给出左(右)焦半径的称谓，是无关紧要的.

4.2 对椭圆第二定义的处理

如此安排，学生便能够很自然地知道椭圆第一定义、椭圆第二定义、椭圆的焦半径之间的内在联系，并将它们作为一个有机的整体理解和掌握.

4.3 对于椭圆上的点与椭圆对称轴端点连线的斜率之积为定值的处理

这是例3的自然推广，既有联系，也有深度，可以培养学生由特殊到一般、锲而不舍的探究精神.

4．4 对椭圆焦点三角形的处理

对于与椭圆焦点三角形有关问题的研究，可以在教材第39页思考1后面，加入思考2：在焦点△MF1F2，记∠F1MF2=θ，你能用θ表示△MF1F2的面积吗？你还能在焦点△MF1F2中得到哪些结论？

这样处理的好处是让学生关注这个特殊的焦点三角形，不足是容易分散学生推导椭圆标准方程的注意力.不妨退一步，在教材第50页B组练习中增加一个与焦半径有关的习题，让学有余力的学生去主动探究.

4.5 余味：椭圆的焦点弦长问题

事实上，θ=90°时的焦点弦AB我们通常称为椭圆的通径，这与抛物线的通径概念是相互统一、前后照应的，这个问题是否也应该以例题或习题的形式予以呈现呢？

当然，与椭圆定义有关的结论还有许多，单靠教材是无法穷尽的，但一些重要的结论要尽可能体现.

数学的本源在教材中，只有深刻地理解教材，才能挖掘教材的精髓.教材中的概念、公式、定理等大多都是以具有较强的抽象性、概括性的“学术形态”呈现出来的.这些知识，有的是学生自我感知就可以掌握的，而有的则是学生自主学习、认知理解困难的，这时候就需要教师认真钻研教材，吃透教材中的概念、公式、定理等内涵，不仅要在宏观上理清思路，还要在微观上推敲细节，合理地利用教材并对其进行适度的“二次开发”，将其转化为学生易于理解的“教育形态”知识，即生动具体的、暴露实质的“浅显”知识.在此基础上，运用恰当的教学方法，留给学生充足的时间和空间，体验建构知识的过程，帮助学生化解建构知识的难点[2].

[1] 章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程教材教法，2016(7):44-49.

[2] 张林.定理在孕育中生成 题目在递进中生长[J].中学教研(数学),2016(12):22-25.

�2017-04-25；

2017-05-27

周顺钿(1965-)，男，浙江绍兴人，浙江省特级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)08-32-05